Алгоритмы построения разрешающих процедур в игровых задачах управления

• Автор: Григорьева, Светлана Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Оглавление
0.1 Введение
1 Построение систем множеств, определяющих стабильность в дифференциальных играх
1.1 Постановка задачи сближения-уклонения
1.2 Оператор стабильного поглощения
1.3 Метод свертки унифицированной системы множеств
1.4 Теорема об отделимости выпуклых множеств, ограниченных третьим множеством
1.5 Примеры
2 Разностные апроксимации решений дифференциальных игр
2.1 Постановка задачи
2.2 Оператор стабильного поглощения
2.3 Разностные операторы
2.4 Вычислительная схема для кусочно-линейного по импульсной переменной гамильтониана
2.5 Алгоритм построения выпуклой оболочки
2.6 Параллельный алгоритм построения функции цены дифференциальной игры на многопроцессорной вычислительной системе МВС
2.7 Примеры
Литература

0.1 Введение
В диссертации рассматриваются задачи теории дифференциальных игр при наличии геометрических ограничений на управления игроков. Предполагается, что первый и второй игроки имеют противоположные интересы.
Теория дифференциальных игр бурно развивается с начала 60-х годов, и это развитие связано с именами отечественных и зарубежных математиков H.H. Красовского, JI.C. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, А.И. Субботина, Б.Н. Пшеничного, Р. Айзекса, В. Флеминга.
Кратко перечислим основные результаты, к которым примыкает диссертационная работа.
H.H. Красовским и его сотрудниками была создана теория позиционных дифференциальных игр. Основу концепции позиционной дифференциальной игры [42, 88, 129, 131] составляет принцип экс-« ~ тремального прицеливания на стабильные мосты. В теории позиционных дифференциальных игр был рассмотрен широкий круг задач. Эта теория объединила в себе подходы, направленные на решение целого ряда проблем, включающих в себя как вопросы существования, так и проблемы вычисления решений в дифференциальных играх [3, 6, 16, 28, 48, 65, 83, 99]. Так, для решения регулярных задач теории позиционных дифференциальных игр был разработан метод программных конструкций [21, 32, 35, 42, 88, 131]. Конструкции позиционных дифференциальных игр были распространены на конфликтно-управляемые системы с запаздывающим аргументом [48, 49, 64]. А.Г. Ченцовым в ряде работ [113, 114, 115, 116] был предложен для построения решений дифференциальных игр метод программных итераций. Параллельно с этим развивались попятные процедуры и вычислительные методы решения различных классов позиционных дифференциальных игр, включая и нелинейные дифференциальные игры [8, 9, 10, 22, 23, 24, 29, 102]. Наиболее существенные из этих результатов, полученных H.H. Красовским, А.И. Субботиным и их сотрудниками, представлены в монографии ”Позиционные дифференциальные игры”, вышедшей в 1974 г. Несколько позже для решения нерегулярных задач теории позиционных дифференциальных игр H.H. Красовским и его учениками разработан ме-
0.1. ВВЕДЕНИЕ

тод стохастического программного синтеза [30, 31, 39, 40, 46, 53, 54]. Установлено, что для многих дифференциальных игр функция цены игры может быть вычислена как стохастический программный максимин в некоторой вспомогательной игре управления.
Следует отметить, что в теории позиционных дифференциальных игр с одной стороны активно используются результаты и методы различных математических дисциплин: теории дифференциальных уравнений, теории игр, выпуклого и негладкого анализа (см., например, [3, 10, 16, 17, 85]), а с другой стороны, конструкции, разработанные в рамках этой теории, нашли применение в других разделах математики. Так например, первые результаты, относящиеся к построению обобщенных решений были получены А.И. Субботиным совместно с Н.Н. Субботиной при изучении основного уравнения теории дифференциальных игр - уравнения Айзекса-Беллмана[84]. Позже они были распространены А.И. Субботиным на уравнения уравнения в частных производных первого порядка типа Гамильтона-Якоби. Им было введено понятие обобщенного (минимаксного) решения уравнения Гамильтона-Якоби, установлены достаточные условия существования и единственности минимаксного решения и доказано его совпадение с вязкостным решением в смысле определения М. Крэндалла-П.Л. Лионса [82].
Основополагающие результаты в теории дифференциальных игр были получены Л.С. Понтрягиным и его сотрудниками. Л.С. Пон-трягиным для линейных дифференциальных игр были сформулированы и обоснованы эффективные условия завершения игры преследования в форме первого прямого метода[69]. Для решения линейных дифференциальных игр, не укладывающихся в рамки первого прямого метода, Л.С. Понтрягин предложил второй метод, который основан на конструкции альтернированного интеграла [70]. Результаты Л.С. Понтрягина были развиты в работах [1, 19, 56, 57, 58, 59] его учеников и сотрудников. В настоящее время продолжают развиваться вычислительные методы построения решений линейных дифференциальных игр, основу которых составляет конструкция альтернированного интеграла [25].
В исследованиях Б.Н. Пшеничного и его учеников [75, 76, 77] предложены операторные конструкции решения игровых задач наведе-

ГЛАВА 1. МЕТОД СВЕРТКИ
(*, [к,) > О (г, I) < — е < О
Вычитая нижнее неравенство из верхнего, получаем 0 < е < {.гДД ~
(г,1) = (г- /) < ЦДШД - /||, Д < Д
Получаем неравенство
114 “ 11 - 'ру >
которое противоречит тому факту, что I = Пт Д.. Значит, предпо-
к—> оо
ложение от противного (1.4.3) неверно, и выполняется включение (1.4.2). Другими словами, множество Д является верхней гранью для последовательности { Д.. } На самом деле оно является верхней гранью и для всей последовательности {Д}, так как для любого номера к можно выбрать Щ > к, и тогда Д С Д С Д.
Доказано, что любая упорядоченная последовательность множества 2 имеет верхнюю грань. Тогда, по лемме Цорна, ([], стр. ) в 2 существует максимальный элемент. Обозначим его Д, I Г 5. Возьмем вектор I, соответствующий элементу Д, и рассмотрим гиперплоскость Д(ж*).
Эта гиперплоскость Г/(ж*) является:
1) опорной к Д и разделяющей множества Д и Ф (это следует из включения Д С 2 и определения множеств Д);
2) неотделимой от Д, так как в противном случае нашлась бы гиперплоскость Д(ж*), I ф I, разделяющая множества Д и Д,, откуда следовало бы включение Д С Д, означающее вместе с неравенством I Ф I, что Д не является максимальным элементом совокупности Я.
Лемма 1.4.1 доказана.
Пусть Д(ж*) - гиперплоскость из леммы 1.4.1, неотделимая от Рф и опорная к Рф в точке ж* € <9Д. Так как Д € Д то точка ж* может принадлежать либо внутренности, либо границе множества Т.
Если ж* £ т£Д то I* (Е Т°, и утверждение теоремы 1.4.1 доказано. В дальнейшем будем считать, что ж* 6 ЭЕ, а также (как в лемме 1.4.1), что ж* = 0.
Рассмотрим конусы А(Д, /б(Д), /1 (Д). касательные к множествам Ц Д, Д с вершиной в точке ж* = 0.