Пространства раздельно непрерывных функций

• Автор: Хохлов, Алексей Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 65 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
§0. Предварительные сведения
§1. Топологические и линейно топологические
свойства пространств СГ{ХХ...хХп)
§2. Пространства СГ(Х х У) и их вложения
в бэровские пространства
§3. Двойственность и вложения в Е-произведение
Литература
ВВЕДЕНИЕ.
Пространства непрерывных вещественных функций на топологическом пространстве X, в топологии поточечной сходимости — СР(Е) имеют прямое отношение к слабой топологии банахова пространства. Хорошо известно, что если Е — банахово пространство в слабой топологии тш, то (Е, тш) линейно гомео-морфно некоторому замкнутому векторному подпространству Ср(и(Е*)), где 11(Е*) — единичный шар сопряжённого пространства Е* с с-топологией [5]. Поэтому в терминах СР(Х) легко может быть переформулировано большинство теорем и задач, относящихся к слабой топологии банаховых пространств. Большое значение в функциональном анализе имеют слабая сходимость, слабая компактность и т.д. Эти понятия в конкретных пространствах рассматривались ещё Д.Гильбертом, Ф.Риссом, а затем в нормированных пространствах С.Банахом и др. С работ В.Л.Шмульяна и В.Эберлейна началось собственно топологическое исследование слабой топологии банаховых пространств. А.Гротендик, продолжая их исследования, обобщил и одновременно упростил их результаты на случай подмножеств в пространстве СР(Х) где X — произвольный компакт [22].
Примерно 25 — 30 лет назад к изучению этих пространств подключились и топологи. Здесь получено много сильных результатов, в том числе и решение некоторых проблем, поставленных в работах по функциональному анализу.
Из российских математиков здесь можно особенно выделить А.В.Архангельского и его учеников, Н.В.Величко, С.П.Гулько, а из иностранных — Р.Поля, Т.Талагранда, Мак Коя, Герлича, К.Альстера.

Некоторые итоги, а также постановки нерешённых проблем содержатся в обзорных статьях, монографиях [27], [3], [4]. Закрепился за этой обширной областью исследований и термин — Ср-теория.
5 Помимо пространств непрерывных функций для многих во-просов анализа и дескрептивной теории множеств естественно рассматривать пространства бэровских функций. Эти пространства, как правило, наделяются топологиями потопе иной или равномерной сходимости. В последние 10 — 20 лет особенно возрос интерес к В(Х) — пространствам функций первого бэров-ского класса. Это связано с тем, что некоторые задачи функционального анализа сводятся к рассмотрению топологических вопросов в В(Х). Здесь можно выделить работы Розенталя, Роджерса, Джейна, Фремлина, Годфруа, Бургена.
Пространства раздельно непрерывных отображений, наряду с пространствами непрерывных, бэровских и измеримых отображений — классические объекты анализа.
В диссертации изучаются пространства раздельно непрерывных вещественных функций — СТ(Х{ х ... х Хп) , определённых на произведении топологических пространств X;, 1 < г < п, и наделённые топологией поточечной сходимости, то есть топологией, индуцированной степенью прямой ДХ1Х" хХп, рассматриваемой в тихоновской топологии. Таким образом, СР(Х х... х Хп) С СГ(Х 1 х..хХп) С Л*1*' хХп) и как правило, включения строгие. Топология поточечной сходимости, одна из наименьших, которыми наделяются пространства функций и поэтому содержит и все компакты больших топологий.
Между Ср-теорией и пространством раздельно непрерывных функций существует тесная связь. С одной стороны, простран-

1{Х1Х"'хХпСг(Х1 х -хХп). Тогда найдутся г0 < п и (ад
содержащее /, и Т(/) П СТрГ]. х х Хп) = 0. Отсюда следует, что Л > т. Теорема доказана.