Некоторые условия обратимости разностных операторов

• Автор: Колесников, Игорь Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 106 с.

СОДЕРЖАНИЕ

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ И ОЦЕНКИ ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ
ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ОПЕРАТОРОВ
§ 1.1. Ряды Фурье и матричное представление
линейных операторов
§ 1.2. Структура обратных матриц для
операторов с ленточными матрицами
ГЛАВА 2. ОБРАТИМОСТЬ И ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ И
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ДИХОТОМИЯ
§ 2.1. Экспоненциальная дихотомия на бесконечности
§ 2.2. Условия обратимости и фредгольмовости
оператора Т> и структура ядер операторов V и V*
§ 2.3. Структура образов операторов V и V*
ГЛАВА 3. ОБРАТИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ОПЕРАТОРОВ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 3.1. Достаточные условия обратимости конечнодиагональных операторов с медленно
меняющимися коэффициентами
§ 3.2. Обратимость и фредгольмовость разностных
операторов, содержащих взвешенный сдвиг
§ 3.3. Интегральные операторы с медленно меняющимися
коэффициентами
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
N - множество натуральных чисел;
Z - группа целых чисел;
Z_(m) = — 1 ,m};
Z+(m) = {m, m + 1
R - поле действительных чисел;
С - поле комплексных чисел;
Т(7) - множество точек, расположенных на окружности радиуса j в комплексной плоскости;
Т - множество точек, расположенных на единичной окружности комплексной плоскости;
supp / - носитель функции /.
А - комплексное банахово пространство;
М1- - аннулирующее подпространство (ортогональное дополнение) из сопряженного пространства X* для подпространства MCA;
LN - аннулирующее подпространство (ортогональное дополнение) из пространства X для подпространства N С А*;
||ж И* - норма вектора х из банахова пространства А.
dim А - размерность пространства А;
Нот (A, Y) - банахово пространство линейных ограниченных операторов, действующих из банахова пространства А в банахово пространство Y.
End А - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в А;
V = {Pj С End А : j £ Л} - дизъюнктная последовательность проекторов (разложение единицы) из алгебры End А (Л - счетное подмножество из Z);
А = (Aij) (i,j € Л) - матрица линейного ограниченного оператора А, состоящая из операторных блоков Ац = PiAPj С End А;

ІтА- образ (область значений) оператора А.
Кег А - ядро (нуль-пространство) оператора А.
Ц = {Щп,т) : —оо < т < п < оо} - семейство эволюционных операторов из алгебры Епсі X на группе целых чисел Z;
1р — 1р(Ъ,Х),р < оо - пространство двусторонних последовательностей векторов из X, суммируемых со степенью р;
/оо = /0О(Z, А) - пространство двусторонних ограниченных последовательностей векторов из А;
со = с0, А) - подпространство сходящихся к нулю последовательностей пространства А);
Т = Т(Ъ,Х) - одно из пространств со, Щ или 1Р,
Р-(т) = ~(т), А);
Х+(т) = А(%+(т), А);
Ьр = ір(К, А), р Є [1,оо) - банахово пространство суммируемых со степенью р функций, определенных на К и принимающих значения в А, с нормой ННр = (/ ||Щг)||dtfip-
Ьоо(Ш, А) - банахово пространство существенно ограниченных на Ж функций, принимающих значения в А;
ЬРд(0,, Е) (1 < д < оо; р = 0 или 1 < р < оо), - см. пример 1.2.

Замечание 1.1. Непосредственно из предыдущих построений следует, что матрица оператора Ак (к £ Лх) относительно разложения единицы V может иметь ненулевые элементы только на к-ой диагонали и (А к) I') -— А (р, 3 — кд).
Замечание 1.2. Из обратимости оператора А £ Епс! X следует обратимость функции Фд(А), причем
ЪА{1)~1 = (Р(к)АР{-б))-1 = Р(<)А-1Р() = ФА_1 (<) V* € К.
Замечание 1.3. Поскольку функция Фд является сильно непрерывной, то её ряд Фурье сильно суммируем к самой функции методом Чезари в любой точке из М. То есть, оператор А является сильным пределом последовательности операторов
1*1'
а,= £(1
к<п

Ак, п> 1.
Заметим, что в данной работе изучаются только операторы с абсолютно сходящимися рядами Фурье, что обеспечивает построение оператора А в виде
Л = £ Л*.

В дальнейшем нам потребуется вид коэффициентов Фурье произведения двух операторов. Рассмотрим операторы А, В из алгебры Епс1 X, такие, что соответствующие им операторнозначные функции
фл(*) = Р(г)ЛРН), ФвОО = Р($ВР{-г), а е м
сильно непрерывны и имеют абсолютно сходящиеся ряды Фурье
ФЛ(А) - X) АкбШ’ Фв = 1 е К-
кеА.1 кеА
Функция ФС(А) для оператора С — В А £ Епс1 X является произведением функций ФА (А) и Фв(ф)
Фв()Фд()=Р(5Р(-А)Р(А)ЛР(-А) = Р(А)ВЛР(-А)=Фва(А) = ФС7(А).