Метод функционального интегрирования и представление решений некоторых эволюционных уравнений

• Автор: Токарев, Александр Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение
1 Некоммутативный аналог формулы Березина
1.1 Некоторые обозначения
1.2 Интегралы по векторнозначным мерам
1.3 Функциональные интегралы
1.4 Основные меры, их преобразования Фурье и свойства
1.5 Основные понятия метода вторичного квантования
1.6 Теорема о представлении решений
2 Доказательство формулы Фейнмана в фазовом пространстве, основанное на теореме Чернова
2.1 Основные определения
2.2 Формулы Фейнмана в конечномерном фазовом пространстве
2.3 Разложение Смолянова - Шавгулидзе
3 Контрпримеры к формуле Троттера в локально выпуклых
пространствах
3.1 Определения и терминология
3.2 Предварительные результаты
3.3 Бесконечные топологические суммы
3.4 Пространства Фреше
Заключение
Список литературы

Введение
Метод функциональных интегралов является одним из основных методов математической физики, так как он позволяет представлять решения эволюционных, дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений в “явном виде” — в виде интегралов известных функций по бесконечномерному пространству (траекторий) с обычной или обобщенной мерой (= “распределением Соболева-Шварца”). Типичным и наиболее важным примером последней является “эвристическая” мера Фейнмана, так что получающийся интеграл Фейнмана имеет лишь эвристический смысл. Тем не менее многие формулы, содержащие функциональные интегралы, имеют ясный интуитивный смысл и в ряде случаев именно интуиция позволяет выводить такие формулы.
Метод функциональных интегралов не сводится только к представлению решений эволюционных уравнений, область его применения постоянно расширяется. В частности, этот метод проникает в дифференциальную геометрию (интеграл Виттена), теорию узлов (интеграл Концевича), теорию стохастических дифференциальных уравнений (формулы Смолянова) и позволяет получать там нетривиальные результаты.
Метод функционального интегрирования исследуется и применяется в работах С. Альбеверио, М. Атьи, Ф.А. Березина, З.Бжезняка, Э. Виттена,
В.С.Владимирова, И.В.Воловича, И.М.Гельфанда, Дж. Глимма, Ю.Л. Да-лецкого, С. ДеВитт-Моритт, А. Джаффе, Г.Джонсона, М.А.Евграфова, Р.Камерона, П. Картье, М.Каца, А. И. Кириллова, В.Н.Колокольцова, М.Ляпидуса, Мартина, В.П. Маслова, P.A. Минлоса, В.Н. Попова, Б. Саймона, A.A. Славнова, O.P. Смолянова, Д.Сторвика, A.B. Угланова, Л.Д. Фадде-ева, Р. Фейнмана, С.В.Фомина, Р. Хеэг-Крона, А.Ю. Хренникова, А.М. Чебо-

тарева, Е.Т. Шавгулидзе, А.М.Яглома и других исследователей. В настоящее время этот метод является одним из основных методов теории бесконечномерных систем, в частности, квантовой механики, квантовой теории поля, статистической физики и гидродинамики.
Таким образом, сложилась следующая ситуация. Имеются эвристические формулы, описывающие эволюцию бесконечномерных систем и содержащие функциональные интегралы. Эти формулы позволяют судить о поведении системы и предсказывать ее свойства. Однако они нередко не имеют строгого математического обоснования. Кроме того, несмотря на богатые возможности интуиции в методе функционального интеграла, получение с его помощью новых формул также часто является далеко не простым делом. Поэтому дальнейшее развитие математического аппарата метода функционального интегрирования и расширение области его применимости является весьма актуальной задачей.
Диссертация состоит из введения и трех глав.
В главе 1 с помощью функциональных интегралов построена сильно непрерывная полугруппа унитарных операторов с генератором 1А (теорема 1.26), где А — замыкание самосопряженного в существенном оператора А в £2(Ж1) <8> И(Ь) вида
А = I ® Еа 4- К ® а'Са + Я) ® а*) + Я ® а(/) + Щ <Е> /. (1.1)
Здесь Ь — гильбертово пространство с инволюцией *, Н(Ь) — симметризован-ное пространство Фока над Ь, / £ 1, а(/),а(/*) — операторы рождения и уничтожения, С,Е — самосопряженные операторы в!иС - ограниченный оператор; К, II, Но - псевдодифференциальные операторы в А2(1Кг), символы которых являются преобразованиями Фурье мер ограниченной вариации, символ | обозначает эрмитово сопряжение и / — тождественный оператор в соответствующем пространстве. Дано описание таких полугрупп как в представлении Фока, так и в представлении Баргмана — Фока.
Операторы вида (1.1) играют важную роль в подходе к квантовому стохастическому исчислению ([30], [31], [24], [20]) в рамках теории однопараметрических групп унитарных операторов, развиваемом в работах [21], [22], [26].

Заметим, что 1д($)ф можно представить в виде
(Д(/)Ф> (?) = / /(® ЕрЖ®д(0) + д)Ф,(<г®д, <£вр),

где интеграл в правой части можно понимать как функциональный интеграл по траекториям в фазовом пространстве, определенный с помощью равенства Парсеваля (ср. [17, гл.3,§2], [15], [16]).
Используя [5, гл.III,п.5,следствие 9], можно показать, что любая мера на И однозначно определяется своим преобразованием Фурье. Поэтому функция / однозначно определяет некоторый оператор Д(/) по формуле (1.3).
Из оценки предложения 1.1 и определений вытекает следующая лемма.
Лемма 1.8. (а) ||Д(/)|| < чаг(ц).
(Ъ) Пусть /, Д: И1 —» И(Т,Ь) — преобразования Фурье мер у,ук- Др —У Л(Т,Ь), к Е И, и уаг(д — уф) —> 0 при к —> оо. Тогда ||Д(/) — Д(Д)|| —> О при к -> оо.
(Д Пусть для к £ N Д: Д —) -С(Г, Ь) — преобразование Фурье меры Ик-Тр -> С(Т,Ь), уаг() < а* и < оо. Д/стъ / = 2ДД Д “
преобразование Фурье меры у — Тогда ДСА) = Д(/)> причем
ряд сходится абсолютно.
(д) Пусть гр Е П2(Ж1),Ь Е Т и / : Д —> Я{ТЬ) — преобразование Фурье меры у: Ер —> Л(Т,Ь). Тогда 1д(ф)(ф ® 6) = Д(/Ь)Д ге /Ь: И' —» Ь, /Ъ: х и- /{х)Ь — преобразование Фурье меры у(-)Ь: Ер —> Т.
Пусть 0 < а < /5 < оо. Обозначим через Д«д) подпространство в Д состоящее из мер {ур.уо), сосредоточенных в промежутке [а,/?) С [0,оо), то есть |ур|([0,оо)[а,/9)) = |уд|([0, оо)[а, /5)) = 0. Так как Да>/?) = {у £ 1Мп,г2(?/) = 0,М£Г 2(г/) = 0 для всех рациональных 0 < /д < Г2 < оо, таких, что [а,/?) П [гцгД = 0}, в силу примера 1.7(а), Да)(з) измеримое подмножество Т. Положим Д = ТД) для 7 > 0 и Д = {0} С П.
Пусть Z — банахово пространство. Скажем, что мера у: Ер —> сосредоточена в пространстве Да,д), если [/ДТДТДД = 0, и в пространстве Д, если НДДО}) = 0.