Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений

Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений

Автор: Кузнецов, Дмитрий Феликсович

Шифр специальности: 05.13.18

Научная степень: Докторская

Год защиты: 2002

Место защиты: Санкт-Петербург

Количество страниц: 490 с. ил

Артикул: 2610047

Автор: Кузнецов, Дмитрий Феликсович

Стоимость: 250 руб.

1 Некоторые сведения из теории вероятностей
1.1 Винеровский и пуассоновский процессы
1.2 Стохастический интеграл Ито.
1.3 Формула Ито.
1.4 СДУ Ито.
1.5 Стохастический интеграл Стратоновича
1.6 СДУ Стратоновича
1.7 Стохастический интеграл по мартингалу.
1.8 Стохастический интеграл по пуассоновской случайной
1.9 СДУ со скачкообразной компонентой.
2 Применения СДУ
2.1 Диффузионные математические модели динамических
систем, находящихся под воздействием случайных возмущений .
2.1.1 Общий вид нелинейных диффузионных моделей .
2.1.2 Линейные диффузионные модели .
2.2 Диффузионные модели физических и технических систем
2.2.1 Модель тепловых флуктуаций частиц в веществах
и электрических зарядов в проводниках.
2.2.2 Автоколебательная электрическая система
А 2.2.3 Чандлеровские колебания
2.2.4 Модели химической кинетики и регуляции численности конкурирующих видов животных .
2.2.5 Модели стохастической финансовой математики
2.2.6 Модель солнечной активности
2.2.7 Модель лагранжевой динамики частицы жидкости
2.2.8 Ошибки округления при численном решении ОДУ
2.3 Диффузионноскачкообразные математические модели .
2.4 Математические задачи, связанные с СДУ.
2.4.1 Фильтрация
2.4.2 Оптимальное стохастическое управление
2.4.3 Стохастическая устойчивость
2.4.4 Оценивание параметров
2.4.5 Вероятностные представления решения задачи Ко
ши для уравнений в частных производных параболического типа .
Ф 3 Некоторые свойства стохастических интегралов
3.1 Теорема о замене порядка интегрирования в повторных стохастических интегралах Ито
3.1.1 Формулировка и доказательство
3.1.2 Следствия и обобщения
3.2 Замена порядка интегрирования в повторных стохастических интегралах по мартингалу
3.3 Соотношения между повторными стохастическими интегралами Стратоновича и Ито произвольной кратности .
3.4 Аналитические формулы для вычисления стохастических интегралов
4 Стохастические разложения процессов Ито
4.1 Дифференцируемость по Ито
4.2 Унифицированные разложения ТейлораИто.
4.2.1 Обозначения.
4.2.2 Первая форма унифицированного разложения ТейлораИто.
4.2.3 Вторая форма унифицированного разложения ТейлораИто .
4.3 Дифференцируемость по Стратоновичу
4.4 Унифицированные разложения ТейлораСтратоновича
4.4.1 Первая форма унифицированного разложения ТейлораСтртоновича.
4.4.2 Вторая форма унифицированного разложения ТейлораСтратоновича
4.5 О сходимости стохастических разложений.
Разложения повторных стохастических интегралов, основанные на кратных рядах Фурье
5.1 Разложение повторных стохастических интегралов Стратоновича
5.2 Разложение повторных симметризованных стохастических интегралов по мартингальным пуассоновским мерам
5.3 Повторные симметризованныс стохастические интегралы по мартингалам и их разложение.
5.3.1 Определения.
5.3.2 Разложение повторных симметризованных стохастических интегралов пб мартингалам.
5.3.3 Примеры повторных симметризованных стохастических интегралов по мартингалам
Методы аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича и Ито
6.1 Метод сильной аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича, основанный на кратных рядах Фурье.
6.1.1 Сильная аппроксимация с помощью тригонометрической системы функций.
6.1.2 Сильная аппроксимация с помощью полиномиальной системы функций .
6.2 Сравнение метода, основанного на кратных рядах Фурье
с методом Г. Н . Мильштейна
6.3 Разложение повторных стохастических интегралов с помощью полиномов Эрмита.
6.4 Метод сильной аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито, основанный на кратных интегральных суммах
6.5 Эффективность применения полиномиальных и тригонометрических функций, интегральных сумм к сильной аппроксимации повторных стохастических интегралов . .
6.6 Комбинированный метод аппроксимации повторных стохастических интегралов.
6.7 Слабые аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито.
Явные одношаговые сильные численные методы решения СДУ Ито
7.1 О малой эффективности применения численных методов решения ОДУ к СДУ
7.2 Сильная сходимость
7.3 Явные одношаговые методы, основанные на унифицированном разложении ТейлораИто
7.3.1 Метод порядка точности г2. Теорема о сходимости
7.3.2 Метод Г. Н. Мильштейна.
7.3.3 Методы порядка точности 1.5
7.3.4 Метод порядка точности 2.0.
7.3.5 Методы порядка точности 2.5
7.3.6 Метод порядка точности 3.0
7.4 Явные одношаговые методы, основанные на унифицированном разложении Тейлора Стратоновича.
7.4.1 Метод порядка точности г2. Теорема о сходимости
7.4.2 Метод порядка точности 1.5
7.4.3 Метод порядка точности 2.0
7.4.4 Метод порядка точности 2.5
7.4.5 Метод порядка точности 3.0
7.5 Явные одношаговые конечноразностные численные методы, основанные на разложениях ТейлораИто
7.5.1 Некоторые тейлоровские аппроксимации производных детерминированных функций
7.5.2 Метод порядка точности 1.0
7.5.3 Методы порядка точности 1.5
7.5.4 Методы порядка точности 2.0
7.5.5 Методы порядка точности 2.5
7.5.6 О сходимости явных сильных одношаговых конечноразностных численных методов.
8 Неявные одношаговые сильные численные методы решения СДУ Ито
8.1 Неявные одношаговые методы, основанные на разложениях ТейлораИто.
8.1.1 Методы порядка точности 1.5
8.1.2 Методы порядка точности 2.0
8.1.3 Методы порядка точности 2.5
8.1.4 Метод порядка точности 3.0
8.2 Неявные одношаговые конечноразностные методы, основанные на унифицированном разложении ТейлораИто .
8.2.1 Методы порядка точности 1.0
8.2.2 Методы порядка точности 1.5
8.2.3 Методы порядка точности 2.0.
8.2.4 Методы порядка точности 2.5.
9 Двухшаговые сильные численные методы решения СДУ Ито
9.1 Явные двухшаговые методы, основанные на унифицированном разложении ТейлораИто.
9.1.1 Методы порядка точности 1.5.
9.1.2 Методы порядка точности 2.0.
9.2 Неявные двухшаговые методы, основанные на разложениях Тейлора Ито .
9.2.1 Методы порядка точности 1.5.
9.2.2 Методы порядка точности 2.0 и 2.5.
9.3 О сходимости неявных сильных двухшаговых методов .
9.4 Двухшаговые конечноразностные методы, основанные на унифицированном разложении
ТейлораИто
9.4.1 Методы порядка точности 1.0 и 1.5.
9.4.2 Метод порядка точности 2.0
9.5 Общие представления двухшаговых методов.
9.6 Об устойчивости численных методов.
Трехшаговые сильные численные методы
.1 Введение
.2 Методы порядка точности 1.0
.3 Методы порядка точности 1.5
Слабые численные методы решения СДУ Ито
.1 Слабая сходимость
.2 Явные слабые численные методы
.2.1 Метод порядка точности 2.0
.2.2 Метод порядка точности 4.0
.3 Теорема о сходимости слабых численных методов
.4 Явные слабые конечноразностные численные методы порядка точности 2.0.
.5 Неявный метод порядка точности 2.0.
.6 Неявные конечноразностные методы порядка точности 2.
.7 Численные методы типапредсказателькорректор . .
.8 О сходимости слабых численных методов
Численное моделирование решений стационарных систем линейных ОДУ
.1 Введение
.2 Метод численного моделирования решений ССЛСДУ, основанный на формуле Коши и спектральном разложении.
.2.1 Общий подход к моделированию. Структурирование проблемы
.2.2 Численное моделирование динамической составляющей решения.
.2.3 Численное моделирование систематической составляющей решения.
.2.4 Численное моделирование стохастической составляющей решения.
.2.5 Численное моделирование решений ССЛСДУ и оценка скорости сходимости
.3 Метод численного моделирования ССЛСДУ, основанный на кусочнопостоянной гауссовской аппроксимации винеровского процесса
.3.1 Численное решение ССЛСДУ
.3.2 Оценка скорости сходимости по 5
Численное интегрирование СДУ со скачкообразной компонентой
.1 Сильные численные методы решения СДУ со скачкообразной компонентой.
.2 Слабые численные методы решения СДУ со скачкообраз
ной компонентой.
Библиотека 1ТОЫМ МааЬфункций численного моделирования решений стационарных систем линейных СДУ
.1 Математическая модель объекта моделирования.
.2 Общая характеристика библиотеки.
.3 Примеры численного моделирования решений ССЛСДУ
с помощью библиотеки ЧТОЬШ.
.3.1 Численное моделирование чандлеровских колебанийЗЗб
.3.2 Численное моделирование солнечной активности
.3.3 Численное моделирование лагранжевой динамики частицы жидкости
Моделирование траекторий решений СДУ Ито
.1 Влияние стохастического возмущения на трехмерную дискретную модель конвективной турбулентности Лоренца .
.2 Численное интегрирование стохастической модели Лотки Вольтерра второго порядка
.3 Численное моделирование динамики доходности портфеля ценных бумаг
.4 Влияние стохастического возмущения на систему уравнений Рсслера.
Примеры численного решения некоторых задач, связанных с СДУ
.1 Тестирование процедур оценивания параметров
.1.1 Модель солнечной активности
.1.2 Модель популяционной динамики.
.2 Фильтрация марковской цепи с конечным числом состояний
.3 Линейная стационарная фильтрация КалманаБьюси . .
.4 Нелинейная оптимальная фильтрация
.5 Оптимальное стохастическое управление по неполным данным.
.6 Вычисление наибольшего стохастического ляпуновского показателя.
.7 Численное решение задачи Коши для уравнений в частных производных параболического типа.
.8 Стохастическое оптимальное управление механической
системой Библиография 0
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6
Введение


Определим количественные характеристики полосы пропускания системы 2. Под полосой пропускания системы 2. Коэффициент задает пороговый уровень амплитудночастотной характеристики системы относительно ее среднего значения, что соответствует гашению сигналов системой 2. Полосой частот равномерности спектра процесса г будем называть полосу частот и оо ы , где с0, ы xV и
0 x о К i , 5го при некотором кг
0. Коэффициент кг задает относительный пороговый уровень равномерности спектральной плотности процесса г. Рассмотрим два характерных типа возмущений динамических систем, часто встречающихся в приложениях. Возмущение белым шумом. Предположим, что полоса пропускания системы 2. Эта ситуация изображена на рис. Необходимо отметить, что аппроксимация процесса г белым шумом в данном случае тесно связана со свойствами самой системы. Для одной системы процесс г может считаться белошумным, а относительно другой он может не обладать этим свойством. В рассмотренном случае г белый шум в общем случае векторный. Запишем систему уравнений 2. Возмущение цветным шумом. Пусть полоса пропускания системы 2. Пс Э . В рассматриваемом случае процесс г является узкополосным относительно системы 2. Эта ситуация изображена на рис. Спектральную плотность 5гсх в данном случае можно представить или аппроксимировать функцией вида 2. Гг скаляр, а процесс г можно считать процессом на выходе формирующего фильтра 2. Совокупность уравнений 2. СДУ с белым шумом в правой части. В х годах техника физического эксперимента достигла настолько высокого уровня, что флуктуационный предел чувствительности электроизмерительных приборов оказался легко достижимым. В г. X. Найквист дал количественную характеристику тепловых электрических флуктуаций в цепях, установив равномерность спектра их колебаний, т. Аналогичный результат получен и для флуктуаций мельчайших частиц, взвешенных в жидкости или газе, т. Опишем эти результаты, придерживаясь их изложения в работах , . Тепловое движение частиц. Рассмотрим . З, приложение 1. Х1 . Г Ягтегт Я г г кор
реляционная функция процесса . Ь
мНмк 1 7гг 2. Т абсолютная температура среды, град. Больцмана. Выполнив в правой части 2. Та. Непосредственной подстановкой 2. Та является решением уравнения 2. Таким образом, согласно формуле Найквиста процесс воздействия на рассматриваемую частицу со стороны окружающей среды является белошумным процессом с интенсивностью 2 кТ а. Тепловая флуктуация зарядов. Рассмотрим электрическую цепь , состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, резистора с сопротивлением Я и индуктивности Ь рис. Эту электрическую цепь можно сравнить с только что рассмотренной механической системой. ЭДС щ, массы то индуктивность Ь, жесткости с величина, обратная электрической емкости 1С, аналогом коэффициента вязкого трения а выступает активное сопротивление Я. Учитывая это соответствие и одинаковый общий вид уравнений 2. Найквиста для электрических цепей 5 и 2кТЯ. Согласно этой формуле процесс щ является процессом белого шума с интенсивностью 2кТЯ ИЗ. Рассмотрим ламповый генератор с колебательным контуром в цепи анода, упрощенная принципиальная схема которого приведена на рис. Предполагается, что сеточное смещение и анодное напряжение постоянны. В автоколебательной системе, изображенной на рис. Л вследствие дробовых флуктуаций отличается от среднего значения тока на случайную величину флуктуационная компонента анодного тока. Если пренебречь реакцией анодной нагрузки . Ш0е. В 2. Важно отметить, что происхождение флуктуапионного члена может обусловливаться не дробовыми флуктуациями анодного тока, а внешними шумами. Предположим малость времени корреляции р случайной функции . Время корреляции тог сравнивается со временем релаксации амплитуды, порядок величины которого . Потребуем выполнения неравенства тот 1. Это условие означает, что воздействующий на генератор шум является значительно более широкополосным, чем генерируемый сигнал, что отмечается во многих практических случаях. Г2 коэффициент депрессии дробового шума е заряд электрона. Пользуясь соотношением 2. Г2е1 т, 2Г2е .

Рекомендуемые диссертации данного раздела

28.06.2016

+ 100 бесплатных диссертаций

Дорогие друзья, в раздел "Бесплатные диссертации" добавлено 100 новых диссертаций. Желаем новых научных ...

15.02.2015

Добавлено 41611 диссертаций РГБ

В каталог сайта http://new-disser.ru добавлено новые диссертации РГБ 2013-2014 года. Желаем новых научных ...


Все новости

Время генерации: 0.249, запросов: 244