Исследование и сравнение методов Рунге-Кутта высокого порядка

Исследование и сравнение методов Рунге-Кутта высокого порядка

Автор: Ассюй Куасси Ришар

Шифр специальности: 05.13.18

Научная степень: Кандидатская

Год защиты: 2004

Место защиты: Иваново

Количество страниц: 90 с.

Артикул: 2630021

Автор: Ассюй Куасси Ришар

Стоимость: 250 руб.

Каркас метода. Решение каркасной системы. Решение в случае Ь 0. Решение в случае . Выражение съ и через свободные переменные. Решение в полном виде. Введение. Используемые переменные и матрицы . Применение упрощающих предположений для сокращения системы уравнений. Описание программы. Вектора и матрицы, i i3. Нахождение уравнений Бутчера, i . Методы 5го порядка. Методы 6го порядка. Методы 7го порядка. Методы 8го порядка. Список литературы
ГЛАВА 1. Естественно, что при фиксированном порядке точности метода, количество шагов хотелось бы минимизировать. Классические методы имеют параметры 4,4. К настоящему времени , , , 8 известны методы с параметрами 5,6, 6,7, 7,9 8, и некоторые другие. Каждый пшаговый метод РК порядка р задается нижнетреугольной п х пматрицей А вида
О 0 . И вектором Ь ,. П длины п. Примеры методов указываем расширенную матрицу. Для нахождения пшагового метода РунгеКутта требуется найти матрицу А, коэффициенты которой удовлетворят некоторой системе нелинейных полиномиальных уравнений.


Уравнения Бутчера. Общая формулировка методов РунгеКутта . Обозначения. Каркас метода. Решение каркасной системы. Выражение с и через свободные переменные. Нахождение уравнений Бутчера, i . Реализация метода Ньютона, i . Основная программа, гк. Тестовая задача. Алгоритм проверки. Описание программы . Методы порядка 4. Методы 8го порядка. Метод Эйлера. Эйлером в его Интегральном исчислении и является, фактически, методом РунгеКутта порядка 1. Глобальная погрешность метода имеет вид с Л, где с постоянная, зависящая от задачи, и Л длина шага. Если желательно, скажем, получить 6 точных десятичных знаков, то требуется, следовательно, порядка миллиона шагов. Если в исходном дифференциальном уравнении функция я, у не зависит от у, то решение дифференциальное уравнения сводится к нахождению определенного интеграла и метод Эйлера переходит в простейший метод нахождения определенных интегралов метод прямоугольников. Для нахождения определенных интегралов уже давно были известны гораздо более точные методы. Естественно, возникало желание найти аналогичные методы и для решения дифференциальных уравнений. Такую попытку произвел Рунге . Для перехода от метода прямоугольников к первой квадратурной формуле Гаусса он рассуждал следующим образом. Л уо Лх0 Л2,уя0 Л2. Но какое значение взять для уя0 Л2 За неимением лучшего естественно использовать один малый шаг метод Эйлера длины Л2. Л2,уо Л, . Может показаться странным, что для вычисления къ мы предлагаем сдолать шаг методам Эйлера, о неэффективности которого говорилось выше. ГЛАВА 1. Однако, в результате умножения к2 в третьем выражении на Л, влияние погрешности становится менее существенным. А3 4 2ху 4 уу2 4 4Д, 4 2х0, Уо 4 . Таким образом, если все частные производные второго порядка ограничены, то ух0 4 А уу сА3. Чтобы получить приближенное значение решения задачи Коши в конечной точке X, будем применять формулы последовательно к интервалам х0,Я1,ХЬ,пЬХ подобно тому как применялся метод Эйлера. Погрешность численного решения ограничена величиной вида сА2 Л максимальная длина шага. Таким образом, является усовершенствованием метода Эйлера. Рунге показал, что для вычислений с высокой точностью можно найти еще лучшие методы. Рунге и Хойн построили новые методы, включив в формулы расчета один или два добавочных шага. Но именно Кутта сформулировал общую схему того, что теперь называется методами РунгеКутта. Определение. С3а . А1, . Ап хо4СпЛ,у Аа1А. У1 Уо 4 ЬЬк 4 . РунгеКутта для задачи Коши 1. Эти условия были приняты Куттой без какихлибо комментариев. Смысл их в том, что все точки, в которых вычисляется , являются приближениями первого порядка к решению. Эти условия сильно упрощают вывод условий, определяющих порядок аппроксимации для методов высокого порядка. Однако для методов низких порядков эти предположения не являются необходимыми. Определение. Метод РунгеКутта имеет порядок р, если для достаточно гладких задач вида 1. Тейлора для точного решения ух0 А и для i совпадают до члена Лр включительно. Уравнения для методов порядка 4. Классическими принято называть 4х стадийные методы 4 порядка. Именно они и были найдены в оригинальных работах Хойна, Рунге и Кутта. Для того чтобы зафиксировать обозначения и показать в простейших случаях примеры уравнений, которые будут рассматриваться в дальнейшем, рассмотрим их более подробно. Для вывода уравнений на коэффициенты матрицы требуется просто вычислить производные порядков 1, 2, 3 и 4 от при А 0 и сравнить их с производными точного решения. ЕЛ. ЬааэзСз 1. Громоздкость нахождения этих уравнений очень быстро растет с ростом порядка метода.

Рекомендуемые диссертации данного раздела

28.06.2016

+ 100 бесплатных диссертаций

Дорогие друзья, в раздел "Бесплатные диссертации" добавлено 100 новых диссертаций. Желаем новых научных ...

15.02.2015

Добавлено 41611 диссертаций РГБ

В каталог сайта http://new-disser.ru добавлено новые диссертации РГБ 2013-2014 года. Желаем новых научных ...


Все новости

Время генерации: 0.230, запросов: 244