Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем

Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем

Автор: Кривулин, Николай Кимович

Год защиты: 2009

Место защиты: Санкт-Петербург

Количество страниц: 300 с. ил.

Артикул: 4751414

Автор: Кривулин, Николай Кимович

Шифр специальности: 05.13.18

Научная степень: Докторская

Стоимость: 250 руб.

Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем  Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем 

Оглавление
Введение
Глава 1. Идемпотентная алгебра
1.1. Идемпотентные полукольцо и полуполе.
1.1.1. Свойства операций.
1.1.2. Отношение порядка.
1.1.3. Примеры идемпотентных полуколец.
1.1.4. Метрика.
1.1.5. Биномиальное тождество
1.2. Идемпотентный векторный полу модуль.
1.2.1. Свойства операций.
1.2.2. Линейная зависимость векторов.
1.2.3. Метрика.
1.3. Идемпотентная алгебра матриц
1.3.1. Свойства операций.
1.3.2. Норма матрицы.
1.3.3. Квадратные матрицы
1.3.4. След матрицы
1.3.5. Граф матрицы
1.3.6. Обратная и псевдообратная матрицы.
1.3.7. Ранг матрицы
1.3.8. Метрика.
1.4. Линейные уравнения .
Глава 2. Линейные уравнения 1го рода
2.1. Расстояние от вектора до множества.
2.1.1. Вектор с ненулевыми координатами.
2.1.2. Произвольный ненулевой вектор
2.2. Линейная зависимость векторов
2.3. Решение уравнений и неравенств
2.3.1. Существование и единственность решения.
2.3.2. Общее решение уравнения
2.3.3. Решение смешанной системы
2.3.4. Решение уравнения Ах 0 I Ь
2.4. Приложения и примеры.
2.4.1. Сетевое планирование.
2.4.2. Исследование надежности
2.4.3. Планирование производства
2.4.4. Анализ цен предложения товарного рынка.
Глава 3. Однородное и неоднородное уравнения 2го рода
3.1. Определения и предварительные результаты.
3.2. Однородное и неоднородное уравнения
3.3. Неразложимые матрицы.
3.3.1. Решение однородного уравнения
3.3.2. Решение неоднородного уравнения
3.4. Разложимые матрицы.
3.4.1. Решение однородного уравнения
3.4.2. Решение неоднородного уравнения
3.5. Однородные и неоднородные неравенства
3.6. Решение систем уравнений и неравенств.
3.7. Размерность пространства решений
3.8. Приложения и примеры.
3.8.1. Сетевое планирование.
3.8.2. Планирование производства
3.8.3. Модель товарного обмена
Глава 4. Собственные значения и векторы матрицы
4.1. Предварительные результаты
4.2. Собственные значения и векторы матрицы.
4.3. Неразложимые матрицы.
4.4. Разложимые матрицы.
4.5. Неравенства для степеней матрицы.
4.6. Спектральный радиус матрицы
4.7. Свойства спектрального радиуса.
4.7.1. Неразложимые матрицы.
4.7.2. Разложимые матрицы.
4.8. Вычисление спектрального радиуса.
4.8.1. Симметричные матрицы.
4.8.2. Матрицы подобия
4.8.3. Матрицы единичного ранга.
4.8.4. Аппроксимация с помощью матриц ранга 1.
4.9. Приложения и примеры.
4.9.1. Планирование производства
4.9.2. Модель экономического развития.
4.9.3. Анализ производственных процессов
Глава 5. Сходимость итераций линейного оператора
5.1. Биномиальная формула для диагональных матриц.
5.2. Неравенства для матриц без нулевых элементов.
5.3. Теоремы сходимости
5.4. Определение спектрального радиуса
Глава 6. Линейные стохастические системы
6.1. Свойства математического ожидания.
6.2. Стохастические динамические системы.
6.2.1. Показатель Ляпунова.
6.2.2. Условия существования предела.
6.3. Вычисление показателя Ляпунова
6.3.1. Системы с диагональной матрицей.
6.3.2. Системы с матрицей подобия
6.3.3. Системы с матрицей ранга
6.4. Системы с треугольной матрицей
6.4.1. Вспомогательное неравенство.
6.4.2. Максимумы сумм случайных величин
6.4.3. Определение средней скорости роста
6.5. Метод разложения матрицы системы
6.5.1. Система с матрицей неполного ранга
Глава 7. Экспоненциальные системы второго порядка
7.1. Экспоненциальные системы второго порядка
7.2. Вычисление показателя Ляпунова
7.3. Система с матрицей с нулями вне диагонали.
7.3.1. Уравнение для функций распределения.
7.3.2. Предельное распределение
7.3.3. Вычисление средней скорости роста.
7.4. Система с матрицей с нулями на диагонали
7.5. Система с матрицей с нулевой строкой
7.6. Система с матрицей с нулем на диагонали.
7.6.1. Случай с и
7.6.2. Случай т д, и ф д.
7.6.3. Случай сг V
7.7. Система с матрицей с нулем ниже диагонали
7.7.1. Случай т V 1.
7.7.2. Случай и ц.
7.7.3. Случай т х
7.8. Система с матрицей общего вида
7.9. Рекуррентное уравнение для плотности
7.9.1. Анализ ядра интегрального уравнения
7 Определение предельной плотности.
. Векторное представление
. Исследование сходимости
7 Вычисление показателя Ляпунова.
. Замена переменных
. Вычисление средней скорости роста
7 Частный случай системы второго порядка.
7 Приложения и примеры . .
. Анализ производственных процессов
Глава 8. Границы и оценки для показателя Ляпунова
8.1. Простые границы для показателя Ляпунова.
8.2. Системы с регулярной матрицей.
8.3. Системы с матрицей без нулевых элементов
8.4. Системы с неразложимой матрицей.
8.4.1. Алгебраические неравенства
8.5. Построение оценок для неразложимых матриц.
8.5.1. Верхние оценки.
8.5.2. Нижние оценки
8.6. Примеры вычисления оценок
Глава 9. Алгебраические модели сетей с очередями
9.1. Сети с синхронизацией движения требований
9.2. Динамическое уравнение.
9.3. Сети с конечной емкостью накопителей.
9.3.1. Производственный тип блокировки
9.3.2. Коммуникационный тип блокировки
9.4. Примеры моделей сетей
9.4.1. Многофазные системы
9.4.2. Многофазные системы с блокированием
9.4.3. Сеть с синхронизацией движения требований
9.4.4. Карусельный механизм маршрутизации.
9.5. Вектор состояний в многофазных системах
9.5.1. Время пребывания требования в системе
9.5.2. Время ожидания требований
9.6. Имитационные модели многофазных систем.
9.6.1. Последовательный алгоритм моделирования
9.6.2. Векторный алгоритм моделирования.
9.6.3. Параллельное моделирование.
Глава . Стохастические модели систем с очередями
.1. Среднее время цикла обслуживания
.1.1. Нижняя граница среднего времени цикла.
.1.2. Ациклические сети.
.2. Примеры вычисления среднего времени цикла.
.2.1. Открытая многофазная система.
.2.2. Многофазные системы с блокированием.
.2.3. Сеть с синхронизацией.
.2.4. Карусельный механизм маршрутизации
.3. Оценка, среднего времени безотказной работы.
.3.1. Вспомогательные неравенства.
.3.2. Нижние оценки среднего времени работы.
.3.3. Верхние оценки среднего времени работы
.3.4. Пример построения оценок
Литература


Изучаются свойства операций сложения и умножения, заданных на полукольце, вводится отношение порядка и даются примеры числовых полуколец. Выбирается метрика, для вычисления которой достаточно выполнения основных бинарных операций полукольца, дополненных операцией обращения. Представлены идемпотентные аналоги биномиального тождества и неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Изучается векторный полумодуль над идемпотентным полуполсм. Операциям полумодуля дастся простая и наглядная геометрическая интерпретация на плоскости в декартовой системе координат. На векторном полумодуле вводится метрика на основе введенной выше метрики для скалярного полукольца. Далее рассматривается идемпотентная алгебра матриц. Изучаются свойства операций и вводится норма матрицы. Изучается идем потентное полукольцо квадратных матриц. Выявляется связь между вычислением степени матрицы и свойствами соответствующего графа. Рассматриваются обратная и псевдообратная матрицы. Наконец, для матриц вводится функция расстояния. В заключение представлен общий вид, а также два частных случая обобщенного линейного уравнения, которые называются уравнениями 1го и 2го рода. Пусть X числовое множество, на котором заданы операции сложения 0 и умножения 0. Будем предполагать, что X, . Обозначим нулевой и единичный элементы полукольца символами 0 и 1. Перечислим основные свойства операций полукольца. Свойства операций. Множество X образует относительно операции сложения идем потентную коммутативную полугруппу с нейтральным элементом. Другими словами, операция сложения для любых х,у. С учетом групповых свойств умножения полукольцо X,, часто называют полуполем. В силу ассоциативности умножения операция возведения в степень может быть введена обычным путем. Положим Х X 0. Э жр хр аГр, 0Р 0. Предполагается, что введенная операция возведения в целую степень может быть естественным образом распространена в полукольце на случай рационального показателя степени. Далее в алгебраических выражениях знак умножения 0, как обычно, опускается. Обозначение степени используется в смысле идемпотентной алгебры. Однако при записи показателя степени применяются обычные арифметические операции. Отношение порядка. В силу идемпотентности сложения на X определено отношение частичного порядка так, что х у тогда и только тогда, когда х ф у у. Легко видеть, что из приведенного определения прямо следует выполнение свойств рефлексивности, транзитивности и антисимметричности отношения, а также справедливость неравенств х х ф у и у х у. Кроме того, на основе этого определения нетрудно проверить свойство монотонности операций сложения и умножения, которое состоит в том, что при условии х у для любого 2 выполняются неравенства х у и X . Ниже знаки операции отношения понимаются в смысле указанного частичною порядка. Заметим, что в соответствии с этим порядком для любого х 6 X выполняется х Ф. Наконец, предполагается, что множество X при необходимости всегда может быть дополнено элементом оо таким, что х оо для всякого х X. Примеры идемпотентных полуколец. I множество всех вещественных чисел, ж Е x 0. В полукольце Ix, нулевым элементом является оо, а единичным число 0. Для каждого х существует обратный элемент ж1, равный ж в обычной арифметике. Для любых х,у . Частичный порядок совпадает с обычным линейным порядком. Максимальным элементом служит Чоо. В Ктп,х пулом является оо, единицей число 1. Обратный элемент и степень имеют обычный смысл. Отношение определяет порядок, обратный по отношению к обычному линейному порядку на К. Роль элемента оо играет число 0. Легко видеть, что все полукольца КШах1, Ктп, КтаХх И Кшп,х изоморфны друг другу. На рис. У 1х
ИИ. Рис. Изоморфизм полуколец x, i, , x. И 1Ii. Полукольцо К x,i К ОО, Оо, 1Ш1Х, i ПрСДСТавЛЯСТ Собой пример идемпотентного полукольца, которое не является полуполем. В этом полукольце оо, 1 оо. Обратный элемент но отношению к операции i не существует, а понятие степени не определяется. Отношение порядка соответствует обычному линейному порядку. Максимальным элементом является Чоо. Другие примеры идемпотентных полуколец можно найти, например, в ,,8.

Рекомендуемые диссертации данного раздела

28.06.2016

+ 100 бесплатных диссертаций

Дорогие друзья, в раздел "Бесплатные диссертации" добавлено 100 новых диссертаций. Желаем новых научных ...

15.02.2015

Добавлено 41611 диссертаций РГБ

В каталог сайта http://new-disser.ru добавлено новые диссертации РГБ 2013-2014 года. Желаем новых научных ...


Все новости

Время генерации: 0.229, запросов: 244