Неявный итерационный полинейный рекуррентный метод решения разностных эллиптических уравнений

Неявный итерационный полинейный рекуррентный метод решения разностных эллиптических уравнений

Автор: Фомина, Любовь Николаевна

Шифр специальности: 05.13.18

Научная степень: Кандидатская

Год защиты: 2010

Место защиты: Кемерово

Количество страниц: 187 с. ил.

Артикул: 4825295

Автор: Фомина, Любовь Николаевна

Стоимость: 250 руб.

Неявный итерационный полинейный рекуррентный метод решения разностных эллиптических уравнений  Неявный итерационный полинейный рекуррентный метод решения разностных эллиптических уравнений 

Введение
1 Итерационные методы решения СЛАУ обзор литературы.
2 Формулировка задачи и алгоритм неявного итерационного полинейного рекуррентного метода.
2.1 Получение системы разностных эллиптических уравнений с матрицей положительного типа.
2.2 Алгоритм неявного итерационного полинейного рекуррентного метода с линейной экстраполяцией приращения решения.
2.2.1 Общая идея метода
2.2.2 Методика преобразований разностных уравнений в локальном направлении
2.2.3 Алгоритм преобразований исходной СЛАУ
2.3 Алгоритм неявного итерационного полинейного рекуррентного метода с квадратичной экстраполяцией приращения решения
2.4 Обоснование корректности неявного итерационного полинейного рекуррентного метода.
3 Тестирование эффективности неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения СЛАУ
3. редварительная оценка эффективности неявного итерационного полинейного
рекуррентного метода
3.1.1 Первая тестовая задача.
3.1.2 Вторая тестовая задача.
3.2 Полуэмпирическая оценка оптимального итерационного параметра компенсации.
3.2.1 Линейная экстраполяция приращения решения
3.2.2 Квадратичная экстраполяция приращения решения
3.3 Анализ эффективности неявного итерационного полинейного рекуррентного метода в широком диапазоне требований по точност и
4 Развитие неявного итерационного полинейного реку ррентного метода решения СЛАУ
4.1 римеиение технологии автоматической адаптации итерационного параметра компенсации
4.2 Алгоритм неявного итерационного полинейиого рекуррентного метода с экстраполяцией приращения решения вдоль глобального координатного направления.
4.2.1 Идея алг оритма на примере выбора глобального направления вдоль координаты
4.2.2 Модификация расчетных формул в случае автоматического определения параметра компенсации
4.2.3 Анализ результатов решения тестовых задач.1.
4.3 Алгоритм неявного итерационного нолинейного рекуррентного метода с экстраполяцией приращения решения по технологии модифицированного нолинейного метода
4.3.1 Вывод расчетных формул
4.3.2 Модификация расчетных формул в случае автоматического определения параметра компенсации
4.3.3 Анализ результатов решения тестовых задач.
4.4 Сравнительный анализ эффективности итерационных методов на примере решения модельных задач.
4.4.1 Тестирование алгоритма метода ВьССБсаЬ
4.4.2 Вторая модельная задача.
4.4.3 Третья модельная задача.
4.4.4 Четвертая модельная задача
Заключение
Список используемой литера гуры.
Перечень условных обозначений, сокращений
1. Основные обозначения А матрица СЛЛУ
В стабилизирующий оператор матрица в канонической записи итерационного процесса п ., . ,
о матрицы коэффициентов при приращении вектора неизвестных разложения
преобразованной СЛАУ с увеличением и уменьшением индекса соответственно
оператор матрица невырожденных эквивалентных преобразований
Е1 почти единичная матрица, у которой клетка в ряду и столбце нулевая матрица,
остальные диагональные клетки единичные матрицы
р почти нулевая матрица, у которой клетка в ряду и столбце единичная матрица,
остальные клетки нулевые матрицы
невырожденные матрицы коэффициентов при векторе неизвестных на Аг
слое итераций разложения преобразованной СЛАУ с увеличением и уменьшением индекса соответственно
нижняя треугольная матрица преобразования матрица деления
А общее количество итераций
, Ь матрицы коэффициентов при векторе неизвестных на к слое итераций разложения преобразованной СЛАУ с увеличением и уменьшением индекса у соответственно Л, невырожденные матрицы эквивалентных преобразований СЛАУ с увеличени
ем и уменьшением индекса у соответственно
V общее количество узлов сеточного разбиения области задачи
Р предобусдавливающая матрица в первой канонической форме записи линейного итерационного процесса
О средняя скорость сходимости
В невязка
5 источииковый член порождения искомой функции в обобщенном дифференциальном уравнении
Г матрица перехода во второй канонической форме записи линейного итерационного процесса
и компонента вектора скорости потока вдоль оси х
V компонента вектора скорости потока вдоль оси у
IV опера гор матрица удобно разрешаемого вида
7 погрешность
а коэффициент граничного условия 3го рода коэффициент разностного уравнения
Ь коэффициент граничного условия 3го рода коэффициент разностного уравнения с коэффициент граничного условия 3го рода
вектор правой части СЛАУ
свободный вектор во второй канонической форме записи линейного итерационного процесса
И шаг сеточного разбиения расчетной области к номер итерации
длина радиусавектора до произвольной точки области т количество узлов сеточною разбиения по оси у
п количество узлов сеточного разбиения по оси х нормаль к границе области Г р коэффициент в преобразованном разностном уравнении
7 коэффициент в преобразованном разностном уравнении г коэффициент в преобразованном разностном уравнении
3 коэффициент в преобразованном разностном уравнении
время, затраченное компьютером на обсчет одного узла расчетной области
Iй время расчета варианта и точное аналитическое решение СЛАУ
.г пространственная координата у пространственная координата
Л матрица при векторе решения на к I итерации завершенного по линии д сотI преобразования СЛАУ
матрица при векторе приращения решения завершенного по линии х сот1 преобразования СЛАУ
0 не вырожденный оператор эквивалентных преобразований исходной системы уравнений
7 матрица при векторе решения на к 1 итерации завершенного по линии сот1 преобразования СЛАУ
к, матрица при векторе решения на к итерации завершенною по линии х сЖ5 преобразования СЛАУ
матрица при векторе правой части СЛАУ на к 1 итерации завершенного но линии х преобразования СЛАУ
ФР предобуславли натсль итерационного полинейного рекуррентного метода
матрица удобно разрешаемого вида завершенного по линии л преобразования СЛАУ
Г граница расчетной области
Д приращение решения в узле между двумя последующими итерациями
Ф искомое решение
расчетная область
Т дополнительное линейное выражение в принципе обобщенной компенсации
а коэффициент в преобразованном разностном уравнении р коэффициент в преобразованном разностном уравнении у коэффициент в преобразованном разностном уравнении
6 коэффициент в преобразованном разностном уравнении г. точность вычислений
коэффициент в преобразованном разностном уравнении т коэффициент в преобразованном разностном уравнении
9 итерационный параметр компенсации
X множитель
v коэффициент при старшей производной в обобщенном дифференциальном уравнении
коэффициент в преобразованном разностном уравнении л коэффициент замедления итерационного метода р коэффициент в преобразованном разностном уравнении
ст коэффициент в иояуэмпирической оценке оптимального параметра компенсации т итерационный параметр
x правая граница расчетной области
верхняя граница расчетной области
метод последовательной верхней релаксации
полипейный метод
модифицированный полипейный метод
. модифицированный полипейный метод с адаптивным параметром компенсации 1 алгоритм метода с линейной экстраполяцией
алгоритм метода с линейной экстраполяцией и с адаптивным параметром компенсации
2 алгоритм метода с квадратичной экстраполяцией
2 алгоритм метода с квадратичной экстраполяцией и с адаптивным параметром компенсации
алгоритм метода с экстраполяцией приращения решения вдоль глобального координатного направления
I. алгоритм метода с экстраполяцией приращения решения вдоль глобального координатного направления и с адаптивным параметром компенсации.
алгоритм метода е экстраполяцией приращения решения по технологии модифицированного полинейного метода
алгоритм метода с экстраполяцией приращения решения по технологии модифицированного полипейиого метода и с адаптивным параметром компенсации.
2. Индексы
2.1. Верхние
одинарная индексация матриц преобразования исходной матрицы СЛАУ i двойная индексация матриц преобразования исходной матрицы СЛАУ к номер итерации
значение функции, к которому сходится численное решение
кг значение функции на промежуточном слое итерации к
О начальное приближение функции
прямой проход вдоль выбранного направления
обратный проход вдоль выбранного направления
2.2. Нижние
восточный правый коэффициент разностной схемы
северный верхний коэффициент разностной схемы
Р центральный коэффициент разностной схемы
южный нижний коэффициент разностной схемы
западный левый коэффициент разностной схемы
номер узла сеточного разбиения по координате х у помер узла сеточного разбиения по координате у, i двойная индексация ряд, колонка клетки матрицы т последний номер линии сеточного разбиения по координате
п последний помер линии сеточного разбиения по координате х х компонента, отнесенная к оси х у компонента, отнесенная к оси у
пЬ обобщенный индекс коэффициентов соседних с центральным узлов разностных схемы
Г индекс граничного условия
с, р соответственно постоянная и линейная часть источника порождения .V.
3. Специальные обозначения черта сверху коэффициенты или матрицы операторы в преобразованном разностном уравнении или системе уравнений вдоль глобального направлениях
тильда сверху коэффициенты в преобразованном разностном уравнении вдоль глобального направления у
вектор.
Введение


Невысокая скорость сходимости поточечных методов может, в частности, объясняться тем, что за одну итерацию происходит передача информации только на один соседний узел сеточного пространства области исследования 2,5,,,. К другой группе относительно простых по построению итерационных методов можно отнести двухслойные однопараметрические методы вариационного типа 1,5,8,,, которые позволяют повысить скорость сходимости за счет двух факторов. Вопервых, за счет применения переменного, зависящего от номера итерации, параметра т для вычисления которого используется информация о поведении приближенного решения но всей расчетной области, включая сс границы. Таким образом, хотя и опосредовано, информация о решении в каждом узле передается в любой другой узел сеточного пространства всего лишь за одну итерацию ,,. Вовторых, использование, вообще говоря, неявного вида оператора В, что в свою очередь, также уменьшает влияние на построение текущего приближения решения Фк 1 решения с предыдущей итерации ФА . Практика расчетов показывает, что скорость сходимости лучших поточечных методов например, метода последовательной верхней релаксации не уступает классическим явным однопараметрические методам вариационного типа методу скорейшего спуска, методу минимальных невязок, методу минимальных поправок, методу минимальных погрешностей 1,9,,,,. Широкое применение при решении практических задач вычислительной гидромеханики и тспломассопереноса получили различные варианты метода переменных направлении и расщепления ,, суть которых заключается в том, что решение многомерной по пространству задачи заменяется на последовательные решения двух или трех одномерных по пространству задач в зависимости от размерности области исследования. Зачастую к расщеплению по пространству добавляется еще и расщепление по физическим процессам . С другой стороны так называемый полинейиый метод 2 представляет собой комбинацию прямого одномерного неявного метода по сеточным линиям вдоль выбранной координаты и метода ГауссаЗсйделя в поперечном направлении. После одного прохода но всем линиям, выбранное и поперечное к нему направление меняется местами для двумерных задач и процедура повторяется вновь. Такой подход позволяет применять по линиям выбранного направления экономичный метод скалярной прогонки. Понятно, что за один проход информация от границ расчетной области сразу же достигает любой внутренней точки вдоль выбранной линии. Чего не скажешь о поперечном направлении, где информация за одну итерацию успевает распространиться только на узлы соседней линии. Несмотря на возможность циклического чередования выбранного и поперечного направлений, что позволяет теоретически предположить прямое распространение информации от границ к любому внутреннему узлу за две итерации или полного никла одной итерации, это не приводит к скольконибудь заметному ускорению процедуры сходимости. Объясняется это искусственным разрывом хотя бы на один итерационный шаг быстрой передачи информации вдоль координатных направлений 2,,. Удачной попыткой преодолеть этот недостаток полинейного метода можно считать работы . И хотя сам автор позиционирует полученный результат как модификацию классического полинейного метода, речь здесь скорее идет о новом практическом подходе к решению разностных эллиптических уравнений. Известно, что фундаментальным свойством краевой эллиптической по пространству задачи является обязательная чувствительность решения в каждой точке области определения задачи к возмущению в любой, в том числе и граничной, точке области определения ,. И чем точнее метод решения разностных эллиптических уравнений будет соответствовать этому фундаментальному свойству, тем выше будет его эффективность, в том числе и скорость сходимости. В работах при построении решения вдоль выбранной сеточной линии с поперечного направления используются не значения искомого решения с предыдущей итерации, а информация о взаимоотношении значений решения в соседних узлах в поперечном направлении в виде коэффициентов двухточечной связи решения. При этом, при построении коэффициентов двухточечной связи используется технология компенсации Н. И. Булесва ,.

Рекомендуемые диссертации данного раздела

28.06.2016

+ 100 бесплатных диссертаций

Дорогие друзья, в раздел "Бесплатные диссертации" добавлено 100 новых диссертаций. Желаем новых научных ...

15.02.2015

Добавлено 41611 диссертаций РГБ

В каталог сайта http://new-disser.ru добавлено новые диссертации РГБ 2013-2014 года. Желаем новых научных ...


Все новости

Время генерации: 0.238, запросов: 244