Дискретно выпуклый анализ и его применение к моделям экономик с неделимыми товарами

Дискретно выпуклый анализ и его применение к моделям экономик с неделимыми товарами

Автор: Кошевой, Глеб Алексеевич

Шифр специальности: 08.00.13

Научная степень: Докторская

Год защиты: 2003

Место защиты: Москва

Количество страниц: 184 с.

Артикул: 2615252

Автор: Кошевой, Глеб Алексеевич

Стоимость: 250 руб.



М является множеством целых точек V. Множество целых точек подмножества Р С V мы обозначаем Рг Р П М. М НотМ,г обозначает дуальную группу к М, V М 8 к обозначает дуальное пространство к V. Множество целых точек С С V мы обозначаем фг П М. Для подмножеств X, У С V, X У х у, х Е X, у Е У обозначает сумму по Минковскому X и У. Х обозначает выпуклую оболочку X в V. X. векторное пространство, порожденное X, обозначается ЛТ, выпуклый конус X. X X X векторное подпространство параллельное Х X X X. Какие бы подмножества X группы М можно было бы назвать выпуклыми Одно требование выглядит бесспорным все целые точки, получаемые как выпуклые комбинации элементов X, должны быть элементами X. X X. При этом мы рассматриваем полиэдральные множества, т. Х является полиэдром. Напомним, что полиэдр задается пересечением конечного числа замкнутых полупространств V. Простейшие примеры полиэдров линейные подпространства V и политопы выпуклые оболочки конечных подмножеств V. Полиэдр Р является целым, если он совпадает с выпуклой оболочкой своих целых точек, Р . Определение 1 Подмножество X С М называется псевдовыпуклым если X соХ и соХ полиэдр. Обозначим множество псевдовыпуклых множеств. Напомним, что полиэдр Р С V называется рациональным если он задается конечной системой линейных неравенств с рациональными или целыми коэффициентами. Полиэдр Р называется целым если он рациональный и каждая непустая грань Р содержит целую точку. Например, политоп, то есть выпуклая оболочка конечного числа точек, целый тогда и только тогда, когда все его вершины задаются целочисленными векторами. Линейное подпространство С V является целым полиэдром тогда и только тогда, когда рационально. Аффинное подпространство является целым тогда и только тогда, когда оно является целым сдвигом целого подпространства. Будет удобно считать всякую минимальную непустую грань полиэдра вершиной. Все вершины являются аффинными подпространствами, которые параллельны общему линейному подпространству в V. Это подпространство называется пространством линейности полиэдра линеал для краткости. Подробнее о полиэдрах смотри или . Предложение 1 Пусть X С М. X является множеством целых решений конечной системы линейных неравенств с целыми коэффициентами. Доказательство. Импликация а Ь почти очевидна положим Р соХ. Импликация Ь с очевидна. Наконец, импликация с а это в точности теорема Мейера смотри, например, , Теорема . С.Е. Обозначим XVIг клас всех целых полиэдров V. Предложение 1 показывает, что есть естествешшая биекция между классами ХР1г и ОС, которая задается отображениями Р Ръ и X соХ. Отметим сходные свойства этих классов оба класса замкнуты относительно целых сдвигов X X I т, т ъп, отражений X ь X и взятия граней X X П Р, где Р грань полиэдра соХ. Различия этих классов таково класс ОС замкнут относительно пересечений и не замкнут относительно сумм класс ХРЬ, наоборот, замкнут относительно сумм, но не замкнут относительно пересечений сумма двух псевдовыпуклых множеств не всегда псевдовыпукла, пересечение целых полиэдров не всегда целый полиэдр. Рассмотрим следующий простой пример в . Множества X 0,0, 1,1 и У 0,1, 1,0 являются псевдовыпуклыми и не пересекаются. Однако, X и У не могут быть разделены линейным функционалом или гиперплоскостью. Этот пример показывает, что для того чтобы построить теорию дискретной выпуклости, в которой выполняется свойство отделения, нам надо сузить класс лсевдовыпуклых множеств и рассматривать подклассы в . Введем следующее понятие. Класс множеств С называется обильным, если 1 замкнут относительно а сдвигов на целочисленный вектор, Ь отражений и с граней. В таком же смысле мы понимаем обильность классов полиэдров V С XV. Предложение 2 Пусть класс 1 С обилен. X, У С полиэдр соХ П соУ целый. Доказательство. Если множества X и У не пересекаются, тогда 0 X У. В силу того, что множество X У псевдовыпукло, 0 не принадлежит многограннику соХ У соХ соУ. Следовательно существует линейный и даже целочисленный функционал р V к, который строго положителен на соХ У. С X и у С У.

Рекомендуемые диссертации данного раздела

28.06.2016

+ 100 бесплатных диссертаций

Дорогие друзья, в раздел "Бесплатные диссертации" добавлено 100 новых диссертаций. Желаем новых научных ...

15.02.2015

Добавлено 41611 диссертаций РГБ

В каталог сайта http://new-disser.ru добавлено новые диссертации РГБ 2013-2014 года. Желаем новых научных ...


Все новости

Время генерации: 0.239, запросов: 128