Регуляризация и единственность решений линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода

• Автор: Каденова, Зууракан Ажимаматовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ош
• Количество страниц: 72 с. : ил.

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА
§ 1.1. Об одном классе линейных интегральных уравнений
Фредгольма первого рода
§1.2. О единственности решений линейных интегральных
уравнений Фредгольма первого рода
ГЛАВА 2. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА
§ 2.1. Об одном классе систем линейных интегральных
уравнений Фредгольма первого рода
§ 2.2. Регуляризация и устойчивость решений систем линейных
интегральных уравнений Фредгольма первого рода
§ 2.3. О единственности решений для одного класса систем интегральных уравнений Фредгольма
первого рода
ЛИТЕРАТУРА
Теория интегральных и операторных уравнений первого рода как область теории некорректных задач возникла и развивалась за последние десятилетия.
Интегральные и операторные уравнения Фредгольма возникают в теоретических и прикладных задачах. К ним сводятся различные обратные задачи для дифференциальных уравнений [2], [35], [48] [52] [55], [56], [60], [77] и большое число прикладных задач (задачи об изучении спектрального состава светового излучения, задачи обработки экспериментальных данных связанных с диагностикой сферической или оссиметрических плазменных образований [47], задачи автоматического регулирования [64], исследования отражения волн от прямолинейной границы [62], задачи акустики, кинематики и сейсмики [35], [40], [41], [58], [70], [71], задачи электродинамики [42], в том числе задач математической обработки (интерпретации) результатов измерений в физических экспериментах [29], [32]).
Новое понятие корректности постановки таких задач в работах А.Н.Тихонова [66], [68], [69], М.М.Лаврентьева [51], [52], [55], и В.К.Иванова [33], [34], [35], отличного от классического, дало средство для исследования некорректных задач и стимулировало интерес к интегральным уравнениям, имеющим большое прикладное значение.

Долгое время математики уходили от обсуждения задач такого типа, считая их лишенными физического смысла.
Впервые на примере обратной задачи теории потенциалов, имеющей непосредственное приложение в геофизике, А.Н.Тихонов [65], переосмыслив известные требования Адамара [1], предъявляемые к задачам математической физики, предложил для восстановления устойчивости сузить область решений до некоторого компакта.
Физическим оправданием такого подхода служило то наблюдение, что на практике, как правило, об искомом решении имеется несколько больше информации, чем это отражено в уравнении.
Так часто, если решение ищется, скажем, в С[0д, то из физических
соображений известно, что
и L < т МІ < т
1С [0,1] ’ 11 uc[o,ij ’
а это уже есть компакт в С^_;] и т.п
В математическом же отношении обоснованием такого сужения области определения с целью возвращения к задаче устойчивости служит следующая теорема из общей топологии.
Теорема 1. Взаимнооднозначное непрерывное отображение А компакта К с X в хаусдорфово пространство Y есть гомеоморфизм, т.е. отображение А~!тоже непрерывно.
Отсюда, после применения к правой части обобщенного неравенства Гёльдера
2(1 +от) / / 2(1 + сс)
при Р = — д = 2(1 + а), /я = 2(1 + а), п = имеем
а а

II"

Е1#,ИЧ
(1+а)2

(О 2 '+а)2
И=1 л|
Ч
1№*)|(1+в)1КФ+в),
£|мИ11£,(^<

ЕА-1Ш
2 Р
У=
“ М

/—! II
^ = 1 Л,
2 Л

Далее в силу и(?)е Ма, (2.2.6) и (2.2.7) из последнего неравенства имеем
II 2
Ё|«<,)||^И<(гаг>с’(аг)

л 2(1 +а) ч
Отсюда, подставляя р = — q = 2(1 + а), получим

^%{е)<с2^сЛ°$есЛ°}М'

(2.2.8)
т.е.
а а

(и^Д^с2*1^ -с2 -с20* •222^|+о) •г2(|*“)
оо а(2«+1) £
-е2^“'

(2.2.9)