Максимизация капитала на арбитражных финансовых рынках с операционными издержками

• Автор: Гнеденко, Борис Дмитриевич
• Шифр специальности: 08.00.13
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
§ 1.1. Модель
§ 1.2. Достаточные условия равномерной интегрируемости семейства §1.3. Строгие е-мартингалы
ГЛАВА 2. РЕЗУЛЬТАТЫ
§2.1. Критерии оптимальности
§ 2.2. Детерминированный случай
§ 2.3. Достаточное условие строгой £ -мартингальности
ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
§ 3.1. Доказательство теоремы 1
§ 3.2. Доказательство теоремы 1
§ 3.3. Доказательство теоремы 1
§ 3.4. Доказательство теоремы 2
§ 3.5. Доказательство теоремы 2
§ 3.6. Доказательство теоремы 2
§ 3.7. Доказательство теоремы 2
§ 3.8. Доказательство теоремы 2
§ 3.9. Доказательство теоремы 2
§ 3.10. Доказательство теоремы 2
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

,53

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Основная цель диссертации — это исследование следующей задачи стохастического оптимального управления:
Пусть на некотором отрезке [О,Г] (момент Т, вообще говоря, может быть случайным), задан прогрессивно измеримый интегрируемый (в каждый марковский момент т <Т) случайный процесс X и число А > 0. Определим множество допустимых управлений и, как состоящее из кусочно-постоянных предсказуемых случайных процессов с конечным числом переключений, ограниченных по модулю единицей. Для и & и рассмотрим следующий процесс
Определим целевой функционал /х(и) как математическое ожидание случайной величины JX;u{Т):
Задача состоит в описании множества управлений й, й € II, на которых достигается максимум функционала /х(и) на и.

Насколько известно автору, задачи подобного рода до сих пор формулировались как задачи оптимального инвестирования при наличии операционных издержек в рамках стохастической финансовой математики,
которая на данный момент является, пожалуй, одним из основных практических приложений стохастического анализа и стохастического оптимального управления. С. финансовой точки зрения поставленная задача получает следующую интерпретацию. Пусть процесс X описывает дисконтированную относительно процентной ставки динамику некоторого финансового актива. Инвестору позволяется иметь в портфеле как положительное, так и отрицательное количество актива X, однако в каждый момент времени это количество ограничено по модулю единицей. Изменять портфель, продавая или покупая актив X, позволяется только конечное число раз. Функционал /х(и) можно интерпретировать как ожидаемое значение капитала самофинансируемой стратегии и в момент Т в ситуации, когда плата
за покупку/продажу одной единицы актива X составляет . Параметр Л
соответствует величине операционных издержек, которые на практике складываются из брокерских комиссий и ВіскАяк: спрэда, т.е. разницы между текущими ценами покупки и продажи. Тогда рассматриваемая задача может быть сформулирована как задача поиска стратегий, максимизирующих ожидаемое значение капитала инвестора в момент Т.
2. Основополагающие работы, посвященные оптимальному инвестированию в непрерывном времени на рынках без операционных издержек (без трения), — это работы Р. Мертона [28; (1969)] и [29; (1971)]. Он рассматривал рынок с двумя активами В( п где
сіВі, = гВ^Ь, йй) = + сг5(с£ 11^.
Е(Хт|^0) = ЕХт = -І,
из чего следует, что X не является строгим £ -субмартингалом Уе <
Приведем также пример, показывающий, что требование непрерывности процесса X справа в теореме 2.7 является существенным.
Пример 2.7. Определим на отрезке [0,1] равномерно распределенную случайную величину т: Ьаю(т) = [0,1]. Процесс X определим равенством
X А ^
1 1, £ — т.
Фильтрацию (у^)кі определим следующим образом: — Можно показать, что относительно фильтрации (Зц) процесс X является прогрессивно измеримым. Очевидно, т - момент остановки относительно (Х(), а X является (^)-мартингалом. При этом Е(ХТ — Х0) = 1, поэтому Уа Є [0,1) X не является строгим є-мартингалом.
Замечание . Если найдется X-измеримая интегрируемая случайная величина Xж такая, что У£ > 0 |Е(Х0О|^) — 1 < є, то результат теоремы
можно без существенных изменений в доказательстве перенести на случай Т — со.
В заключение сформулируем интересный критерий строгой є-мартингальности для сасїі^ процессов X.
Утверждение 2.1 (Критерий строгой є-мартингальности для сасіїад процессов) . Пусть X — согласованный сснИау процесс такой, что для любого момента остановки т Є Т величина Хт интегрируема. X является строгіш є-мартингалом на [0,Т] тогда и только тогда, когда
найдется (/])-мартингал М такой, что Хг — М11 < ^ У£ < Г.