Численные методы решения нестационарных краевых задач анизотропной теплопроводности

• Автор: Крицкий, Олег Леонидович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 125 с. : ил.

Введение
1. Аналитический обзор работ по численному решению уравнения теплопроводности
с полным тензором и постановка задачи
1.1. Аналитические методы
1.2. Прямые методы
1.2.1. Метод дробных шагов
1.2.2. Метод слабой аппроксимации
1.3. Итерационные методы
1.4. Общая математическая постановка нестационарной краевой задачи теплопроводности в областях с анизотропией
2. Двумерный алгоритм нелинейных итераций прогоночных коэффициентов
2.1. Описание итерационного алгоритма
2.2. Векторно-матричная запись «а - (3» процесса
2.3. Сходимость и устойчивость итерационного алгоритма
3. Трехмерный алгоритм нелинейных итераций прогоночных коэффициентов
3.1. Описание итерационного алгоритма
3.2. Векторно-матричная запись « а - (3 » процесса
3.3. Сходимость итерационного алгоритма
4. Сравнительный анализ численных методов решения нестационарной краевой задачи анизотропной теплопроводности
4.1. Анализ методов решения двумерной задачи анизотропной теплопроводности
4.1.1. Постановка тестовых задач
4.1.2. Сравнение метода « а - р » итераций с методами неполной факторизации ЯМБ-2 и

4.1.3. Сравнение метода «а - Р» итераций с методами скалярной и матричной прогонки
4.2. Анализ методов решения трехмерной задачи анизотропной теплопроводности
4.2.1. Постановка тестовых задач
4.2.2. Сравнение метода «а-р» итераций с ЯМБ-
Заключение
Список использованных источников
Приложения
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы
Математическое моделирование тепловых полей в анизотропных композиционных материалах, превосходящих по различным параметрам металлы и сплавы, является актуальной задачей для современной техники. Их широкое распространение обусловливает развитие соответствующего математического аппарата, однако влияние анизотропии расчетных областей на вид тепловых полей изучено недостаточно.
В настоящее время для численного решения многомерных параболических уравнений общего вида чаще всего используют прямые методы, такие как метод дробных шагов или слабой аппроксимации. Тем не менее, их применение затруднено из-за того, что производная по нормали от функции температуры на границе не совпадает с направлением вектора теплового потока, вследствие чего возникают сложности адекватного учета граничных условий и трудности получения абсолютно устойчивой разностной схемы на каждом полуинтервале по времени.
Для решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка с разреженными матрицами специальной структуры, возникающих из сеточных аппроксимаций многомерных краевых задач, эффективным средством стали итерационные алгоритмы. Их главными достоинствами являются высокая практическая экономичность и широкие возможности конструирования адаптивных алгоритмов для различных классов уравнений.
11остроснию различных итерационных алгоритмов посвящено большое количество работ, однако вопросы их использования для расчетов нестационарных уравнений анизотропной теплопроводности с граничными условиями третьего рода, а так же конструирования быстро сходящихся итерационных процессов являются малоизученными и практически важными.
Цель работы
математическое моделирование теплового состояния анизотропных сред, которое включает разработку алгоритма численного решения нестационарной краевой задачи теплопроводности общего вида, записанной в двух- и трехмерной области, доказательство сходимости и устойчивости построенного метода в рамках модели, а так же выявление класса параболических уравнений, для которых применение этого метода высокоэффективно.
Научная новизна
В работе модифицирован двумерный стационарный итерационный процесс. Модификация заключается в обобщении известных в литературе формул ведения нелинейных итера-

ций пригоночных коэффициентов на нестационарный случай, в записи краевых условий трстт.сго рода с учетом анизотропии расчетной области и в аппроксимации ггх с повышенным порядком по пространству. Разработан эффективный трехмерный нестационарный итерационный алгоритм для расчета параболического уравнения с постоянными теплофизическими характеристиками с учетом анизотропии области. Получены условия и доказана сходимость построенных методов, выявлены оптимальные но скорости сходимости и но количеству итераций области их применения.
Краткое содержание
Диссертационная работа состоит из четырех глав, введения и заключения.
Первая глава посвящена обзору работ и постановке задачи. Для удобства работы с литературой он был весь разделен на несколько частей, каждая из которых посвящена отдельной теме. В первом пункте приведен общий обзор по аналитическим, во втором - по прямым. а в третьем - по итерационным методам решения параболических уравнений со смешанными производными. В четвертом пункте приводится физическая постановка третьей нестационарной краевой задачи теплопроводности в трехмерной области, заданной в произвольной криволинейной системе. Записаны частные случаи для цилиндрической, сферической и декартовой систем координат.
Во второй главе представлены результаты исследования модифицированного нелинейного "а-р" алгоритма, использованного в дальнейшем для решения нестационарной краевой задачи теплопроводности в двумерной анизотропной области. Осуществляется построение итерационного метода, приводится его запись в матричном виде, рассматривается вопрос об устойчивости и сходимости алгоритма.
В третьей главе построен новый неявный нелинейный метод «а-р» итераций. Он применен к трехмерному параболическому уравнению общего вида, дополненному краевыми условиями третьего рода. Приводится запись алгоритма в матричном виде, рассматривается вопрос о сходимости процесса.
В четвертой главе проводится сравнительный анализ с методами неполной факторизации (ЯМБ-2, НМБ-2, ЯМБ-3), методом дробных шагов и матричной прогонки, а так же сравниваются результаты расчетов, полученные в настоящей работе, с результатами других авторов.
Основные научные положения,
полученные автором и выносимые на защиту:

а,.2 =<Р,,2> ' = « = 2,Р-1;
7„-, = (Я + Л ■ сс,я_, +1 • уЛя_, )[С - К • аІ п - Е ■ у,„ - у,„ • (р + £ • а(>+1 + Г • у,л+| )]*', (2.10)
і = ЛГ,1, и = Р-1,2;
Р,+.^ = (ф,* • Р-л.1 + ^ > Р2,„> = 42„. «' = 2,^-1, и = РР, (2.11)
^.л.* = ^ -Л.к + V ' + У ■ ^М.яТ + А • Рі-І,я,Т + В • Р, я> + А • РМяА + ,
ф,.„ = АГ + Л • а,_,„ + А> • , Т,= С - 5 • а, „ - V • у,,„ - а, „ • Ф, „;
4-иа = (ф,,я '^іл.к +М,.п.к)/У^1„^м-1** г = N-1,2, п = 1,Р, (2.12)
Ф,„ = £ + А-а,+І„ +Г-у,+І„, Ч»м = С-В-аІп -Р-у,„ -у,„ -Ф,я;
Р,,+м =(Ф,„ -Р,,а +К^)іЧ„>1,2,* =4..2. / = ЇЛ^,« = 2,Р-1, (2.13)
~ А • <7,,+ Е' + Р • ^,,„+і.* + ^ ’ Р,.п-і,і + АГ • Р,.„.* + А> ■ Р, „+и + Р, я_|,
Ф,.„ =В + А -а,,,., + А • у = С - К ■ а1Я - Е -уІп -а,„ -Ф(И;
<„-,.* Цф,, Ч.,* = іЧ-.> / = йУ,и = 7^й2, (2.14)
Ф,,„ ~Р + £>-а(Я+І+К-у,я+і, Ч(я =С-АГ-а,л-£-у,в-у,„-Ф,я.
Чтобы разрешить систему (2.7) - (2.14), построим следующий "а-Р" итерационный алгоритм (і - номер итерации): а|(!І) = 0; а,'“1 = 0; у,(°’ = 0; у)“’ = 0; і = ЦУ, п = ЇР;
- <я'/! =Ф2.„, / = 2,^-1, л = 2, Р -1; (2.15)
у:,1.:,2 = (к + а- а;*';г + о • У )[с - я • а;;|/2 - к • у - у ;;,/2 • (я + а • а;;,';2 + г • у;+и)]-',
УЇ"2„ = Ф.у-,,,> *' = N-1,2, л = 2,Р-1; (2.16)
■'+1/2 /г/ Г"1 . і V Г+ .''+1/2 /7 л+І/2 +—.''+1/2 (п . л «, '+1/2 і т _,'¥-+-і/2 1 ®
,.„+1 = (Р + А> • а,я+| + У• у, я+|)[С - л • а,„ -£-у,,„ -а,„ -^З + Л-а,,,., +А'у,яЧ Д ,