Периодические системы вихрей Ааронова-Бома: : Явнорешаемые модели, спектральные свойства

• Автор: Гришанов, Евгений Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Саранск
• Количество страниц: 178 с. : ил

Оглавление
Введение
Глава 1. Некоторые вспомогательные сведения и определения
§1. Вспомогательные сведения из геометрии решеток
§2. Вспомогательные сведения из теории целых функций
§3. а -функция Вейерштрасса и связанные с нею функции
§4. Основные обозначения
Глава 2. Периодический массив квантовых точек
в неоднородном магнитном поле
§1. Описание модели
§2. Представление группы инвариантности гамильтониана
и его свойства
§3. Построение гамильтониана Н модели
§4. Гармонический анализ оператора А (случай рационального
потока Ф)
§5. Гармонический анализ оператора А (случай иррационального
потока Ф )
§6. Спектральный анализ гамильтониана системы (случай
квадратной решетки Л)
§7. Спектральный анализ периодических систем колец Ааронова -Бома
Глава 3. Оператор Паули с периодическим магнитным полем
§1. Оператор Паули с сингулярным магнитным полем
§2. Основные примеры
§3. Оператор Паули. Строгое определение самосопряженного
оператора
§4. Добавление целого потока в соленоиде Ааронова-Бома
§5. Основное состояние (нулевая мода) оператора Паули

§6. Нулевые моды оператора Н± с потенциалом Ааронова-
Бома конечного типа
6.1. Решетки вихрей Ааронова-Бома
6.2. Суперпозиция однородного магнитного поля и поля
вихрей Ааронова-Бома
§7. Отсутствие нулевых мод у оператора Я*
Заключение
Приложение
Список литературы

Введение
Исследование электронных, транспортных и оптических свойств квантовомеханических систем основано на изучении их отклика на воздействие внешними полями. В частности, важная информация получается при исследовании отклика на воздействие стационарного магнитного поля. Это обуславливает интерес, проявляемый в математической физике к изучению спектральных свойств гамильтонианов заряженной частицы в магнитных полях различной конфигурации, среди которых особый интерес представляют однородное магнитное поле (оператор Шредингера с таким магнитным полем называется оператором Ландау) и поле конечной или бесконечной системы вихрей Ааронова-Бома.
Развитие технологии в последние десятилетия сделало возможным экспериментальное изучение различного рода квантовомеханических систем пониженной размерности, среди которых особое место занимают МОП-структуры, гетеропереходы, квантовые точки и их массивы, интересные своими необычными транспортными свойствами. Именно в этих структурах наблюдается квантовый эффект Холла [28,86], теория которого в периодических системах использует структуру диаграммы '’поток-энергия”. Эта диаграмма, как показывает квазиклассический анализ, проведенный Я.М.Азбелем [2], и численный анализ, проведенный Хофштадтером [84], носит фрактальный характер.
Еще одним интересным эффектом, обусловленным тем обстоятельством, что в гамильтониан квантовой частицы входит векторный потенциал магнитного поля, а не его индукция, является эффект Ааронова - Бома, предсказанный Я. Аароновым и Д. Бомом в 1959 году в работе [46] и экспериментально обнаруженный Р. Чамберсом [67]. Математически, эффект Ааронова - Бома связан с тем, что векторный потенциал магнитного поля определен с точностью до калибровочного слагаемого. Добавление этого слагаемого приводит к замене исходного гамильтониана на унитарно эквивалентный, что не сказывается на

сложную структуру. Идея модели типа Б.С. Павлова [38] состоит в дальнейшем упрощении операторов 5д . На первом шаге мы заменяем ячейку F = F + Л на круг И = 71 + А, где 71 - круг с центром в нуле, диаметр d которого совпадает с характерным размером квантовой точки.
На втором шаге мы заменяем потенциал конфайнмента круга, который представляет собой потенциал ’’твердой стенки”, параболическим потенциалом. В силу теоремы Кона ( [44], теорема 11.1) такая замена справедлива. Это приводит нас к симметрическому оператору Sdot, который является сужением оператора гармонического осциллятора с магнитным полем в Т2(М2)
1 М,- е w Л2 m*UQ2r2 /п
H0Sc — л—г(— ^----------A(r) Н —— (2.5)
2т* i с
на множество функций из Со°(П12 {0}), обращающихся в нуль в нуле. Здесь г = |г — А|. Выбираем шо равным -~р , где й-характерный размер квантовой точки. Обозначим
S — ф S, (2.6)

где 5д = Заы. Таким образом, в качестве модельного пространства мы получаем Н = 0 Т2(М2) = ^2(А) ® 12(Е2), а в качестве гамильтониа-

на модели - самосопряженное расширение оператора 6 Однако, среди всех самосопряженных расширений 5 мы должны отобрать те, которые коммутируют с ’’естественным” представлением группы инвариантности гамильтониана Я"0 в У,. Таким образом, мы должны найти группу инвариантности Я° , построить ее естественное представление в 'Н и выделить такие смосопряженные расширения Я0, которые инвариантны относительно этого представления.
§2. Представление группы инвариантности гамильтониана и его свойства
Построим группу инвариантности оператора (2.1). Переходя к из-