Развитие метода функции влияния в задачах математического моделирования стилтьесовской струны

• Автор: Кокорева, Валентина Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 111 с.

Глава I. Предварительные понятия и факты
1.1. Классическая модель упругого континуума
1.2. Некоторые сведения из теории краевых задач
1.3. Задача Штурма-Луивилля
1.4. Функция ограниченной вариации
1.5. Интеграл Римана-Стилтьеса
1.6. Некоторые основные свойства интеграла Стилтьеса
Глава II. Интегро-дифференциальная модель
2.1. Вариационная мотивация модели
2.2. Аналог теоремы Коши-Пикара для интегро-дифференциального уравнения
2.3. Свойства решений однородного уравнения
2.4. Зависимость решения интегро-дифференциального уравнения от параметра
Глава III. Псевдокраевая задача для интегро-дифференциального уравнения
3.1. Функция влияния
3.2. Свойство неосцилляции
3.3. Положительные решения
3.4. Оценки функции влияния
3.5. Простота ведущей частоты
Глава IV. Нелинейная спектральная задача
4.1. О монотонной ветви нелинейной спектральной задачи
4.2. Вычисление границ интервала (20,2Щ)
Заключение
Литература
Приложения
Актуальность темы. В строительной механике часто приходиться рассматривать механические системы из струн и тросов, вдоль которых распределены сосредоточенные нагрузки. Примерами таких механических систем являются электропровода между опорами линий электропередач, тросы канатных мостов и некоторые другие. Все такие механические системы принято называть стилтьесовскими струнами. Расчет и анализ формы и сил реакции этих упругих струн с распределенными вдоль них внешними нагрузками представляет сложную задачу актуальную как с прикладной, так и с теоретической точек зрения.
Задачи такого типа ранее рассматривались Ю.В. Покорным и его учениками методами дифференциальных уравнений с производными типа Радона-Никодима из общей теории интеграла. Данная диссертационная работа посвящена развитию новых методов математического моделирования упругих континуумов типа стилтьесовских струн.
Целью работы является
1. развитие новых методов математического моделирования для расчетов формы и сил реакции механической системы типа стилтьесов-ской струны;
2. исследование сопутствующих математических проблем: интегро-дифференциальные уравнения с интегралом Стилтьеса и построение его решения с помощью функции влияния.
Предметом исследования данной работы являются математические модели конкретных механических систем типа стилтьесовских струн и свойства этих моделей.

Научная новизна и методы исследования. Научная новизна данной диссертационной работы состоит в разработке новых методов математического моделирования стилтьесовских струн, в частности разработаны методы функции влияния для расчета формы и сил реакции механической системы типа упругой стилтьесовской струны.
В связи с тем, что функция влияния в построенных математических моделях стилтьесовских струн играет ведущую роль, приведем краткий литературно-исторический обзор её возникновения и развития.
Функция влияния — основополагающее понятие в физике, использующей математические средства для описания физических явлений и законов. При описании разнообразных физических свойств это понятие для физиков незаменимо ничем в условиях, когда о среде изначально ничего не известно.
В условиях достаточно регулярных сред, допускающих использование процедур дифференцирования и аппарата математической физики, функция влияния в канонических ситуациях совпадает с функцией Грина - важнейшим средством математического моделирования. К сожалению, вначале XX века функция влияния выпала из внимания математической физики, поскольку ее заменил другой математический объект — функция Грина.
В данной работе дается математически корректное описание функции влияния для заведомо нерегулярной среды — упругого континуума с локальными (типа дельта функций) аномалиями как во внешней нагрузке (сосредоточенные силы и массы), так и в наружной реакции (по примеру сосредоточенных упругих опор по типу пружинок). Поэтому построение и анализ функции влияния исследуемой задачи — яркий пример создания математического средства изучения моделей, когда прежние канонические методы математики оказываются не эффективными. Кроме того, изучаемая в работе физическая система не допускает в принципе описания с помощью обычных дифференциальных уравнений. В диссертации используется нетрадиционный для математической физики интеграл, а именно — интеграл Стилтьеса, и описание напряженного состояния объекта осуществляется не привычным для математиче-

виде
1 I
IРИ(1И + [М(3- hclF = 0. (2.1.3)
О 0
Так как и(х) непрерывна и Р(х), Р(х) имеет офаниченную на [О, 1] вариацию, то возможно интефирование по частям второго и третьего интефалов:
]ыр=/?р - \ш (2.1.4)
0 0 0
и 1 1 1
і 1 (2.1.5)
0 0 0
Так как Л(0) = й(1) = 0, то (2.1.4) и (2.1.5) можно переписать в виде
)ыр=-} ЫН (2.1.6)
0 0
и
)мр=- Ейк. (2.1.7)
Подставляя (2.1.6) и (2.1.7) в (2.1.3), будем иметь равенство
і і і
|ри'сііг - |р<і/і+|/ч/й = 0.
О 0
Таким образом, первая вариация бФ(и)/г функционала Ф(ы) принимает вид

5Ф(м)/г= |(рм'-р+^)7/г. (2.1.8)

Откуда вытекает равенство

J(pм'-p+F)^/й = 0, (2.1.9)

справедливое для любой И є Е.
Отметим, что в силу непрерывности и(х) функция р(х) имеет вместе с