Математическое моделирование характеристик слабо связанных волноводов

• Автор: Фролов, Сергей Валентинович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 92 с.

Глава 1. Асимптотическое разложение квазисобственного числа
для волноводов, связанных через отверстие
§1.1. Постановка задачи
. ' ) ' §1|.2. Построение асимптотического разложения
квазисобственного числа
§ 1.3. Два одинаковых волновода: асимптотическое
разложение собственного числа
§ 1.4. Выводы
Глава 2. Три связанных волновода: нарушение симметрии, переход
собственного числа в квазисобственное
§2.1. Постановка задачи
§ 2.2. Построение асимптотического разложения
квазисобственного числа
§ 2.3. Выводы
Глава 3. Некоторые возможные приложения
§ 3.1. Возможная конструкция квантового переключателя
§ 3.2. Электронная ловушка
§ 3.3. Двухпозиционный квантовый переключатель и
квантовый интерференционный транзистор
§ 3.4. Резонансные эффекты в связанных оптических
волноводах
§3.5. Выводы
Заключение
Литература
Иллюстрации

В настоящее время чрезвычайную актуальность приобрела задача математического моделирования наноразмерных систем. При этом в основном используются численные методы, разрабатываются программы расчёта конкретных параметров наноструктур. Такие методы имеют как достоинства, так и очевидные недостатки, связанные с трудностью качественного анализа поведения системы и поиском параметров системы, обеспечивающих требуемые свойства. В настоящей работе предлагается математическая модель планарной полупроводниковой наноструктуры, основанная на асимптотическом анализе системы.
Быстрое развитие микроэлектроники стимулировало в последние годы значительный, прогресс в физике полупроводников. Появляется много новых идей и значительно расширяется экспериментальная работа. В то же время этот прогресс принёс интересные математические задачи. Наиболее эффектное проявление упомянутых достижений относится к разработке технологии создания микроскопических структур из полупроводникового материала (см. [88] и работы, процитированные ниже). Назовём некоторые из них:
— тонкие плёнки, нанесённые на изолированную поверхность одним из способов эпитаксии; их толщина может приближаться к 2 нм., что означает, что поперечное сечение такого слоя содержит лишь несколько атомов.
— слоистые структуры (сэндвичи) из сочетания плёнок из различных полупроводниковых материалов; типичный пример — комбинация ОаАБ и АЮаАэ.
— гетероструктуры, т. е. сэндвичи со слоями изменяемой толщины
[42].

— “квантовые проволоки”, полученные из полупроводниковых плёнок электронной бомбардировкой [94]; этим способом можно создать на субстрате различные образцы [95], [35].
Часто при описании таких структур и других подобных малых объектов (например, металлических образцов, изготовленных с помощью ионной литографии) используется термин мезоскопическая физика. Следует подчеркнуть, что описанные системы достаточно велики, чтобы быть созданными экспериментаторами, но в то же время- так малы, что на них проявляются квантовые эффекты, подобные интерференции. Среди экспериментальных достижений в этой области можно назвать проявление эффекта Ааронова-Бома в гетероструктурах [41] и металлических пальцах [38], [96], [97]. Кроме того, значительный интерес представляет квантовая интерференция в микроструктурах, контролируемая внешним полем: существует несколько предложений вариантов конструкций интерференционных транзисторов [42], [46]; [91].
Подытожим характеристические свойства упомянутых полупроводниковых микроструктур:
a. малый размер, от десятков до сотен нм.,
b. высокая чистота; длина свободного пробега электрона может быть несколько мкм. или даже больше,
c. кристаллическая структура,
<1. волновые функции обычно аннулируются на границах между различными полупроводниковыми-материалами [56].
Поведение электрона в таких структурах, конечно, подчиняется многочастичному уравнению Шредингера, описывающему его взаимодействие с атомами решётки, содержащей возможные примеси. Упомянутые* свойства позволяют, однако, принять несколько фундаментальных упрощающих допущений. Из свойств (а) и (Ь) очевидно, что при использовании достаточно чистого материала можно достичь того, что

£ = — (в локальных координатах) и приравняем коэффициенты при а
равных степенях а и Ina Переходя к формальному пределу при а -» 0,
получаем краевые задачи для v
t(mn)
X Л
р=0 д
v=0 дєу,
(13)
где у = {£:£, = 0,£ e(-oo,-l]u[l,oo)}, Apq — коэффициенты ряда
Ґ ч
1 а In—
Определим оператор Мна суммах II(х, а) вида (2), (4), (6), записанных в локальной системе координат с началом в точке Ху, где
выражение

d2 а
V з
заменено на ряд по степеням а и Ina, а выражения в (2), содержащие разложены в асимптотические ряды по степеням а следующим образом: коэффициенты суммы, II {х,а) разлагаем
„ X
в асимптотические ряды при г —» со, переходим к переменным д - — ,

заменяя 1ш- на пр + 1па. Обозначим как Мрч сумму всех членов вида
ар(1па)" Н(д). Пусть М •

Займёмся согласованием асимптотических разложений (2) и (3), (3) и (4), (4) и (5), (5) и (6) приравнивая коэффициенты в этих разложениях
при а'
Г V

V ао
. Для нахождения к20 достаточно приравнять коэффици-