Математическое моделирование процессов субдиффузии

• Автор: Пехтерева, Лина Вадимовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 162 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. СТЛАУ-МОДЕЛИ СУБДИФФУЗИИ НА ЕВКЛИДОВЫХ РЕШЕТКАХ
1.1. Вспомогательные сведения о пространстве обобщенных функций медленного роста
1.2. Общее интегральное уравнение СТЛАУ-модели
1.3. Построение и исследование СТЛАУ-модели (В) субдиффузии на евклидовой решетке
1.4. Уравнение динамики концентрации с заданной функцией задержки при наличии источников и стоков
1.5. Прямое стохастическое моделирование субдиффузии в Кп (п=1,2,3)
1.6. Сходимость последовательности концентраций при увеличении числа испытаний
ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
СУБДИФФУЗИИ НА ЕВКЛИДОВЫХ РЕШЕТКАХ
2.1. Численное решение интегроразностного уравнения субдиффузии в Л1
2.2. Численное решение интегроразностного уравнения субдиффузии в Л

2.3. Численное решение интегроразностного уравнения субдиффузии в Л
2.4. Численная реализация стохастической имитационной модели субдиффузии
2.5. Сравнение численных моделей
ГЛАВА 3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СУБДИФФУЗИИ
ЗЛ. Описание интерфейса программы для численной реализации субдиффузии с источниками
3.2. Алгоритм вычисления концентрации методом прямого стохастического моделирования
3.3. Алгоритм вычисления концентрации методом численной аппроксимации уравнения субдиффузии
3.4. Сравнение алгоритмов численной реализации субдиффузии
3.5. Определение среднего квадрата перемещения частиц
3.6. Программа для построения траекторий стохастического блуждания частиц
ГЛАВА 4. СТЫЛУ-МОДЕЛИРОВАНИЕ СУБ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ ДРОБНОЙ РАЗМЕРНОСТИ
4.1. Моделирование субдиффузии в поровом пространстве дробной размерности СТКЛУ-моделью субдиффузии на евклидовой решетке
4.2. Определение ширины диффузионного пакета для процесса субдиффузии в поровом пространстве дробной размерности
4.3. Оценки параметров перколяционных процессов на основе СТБЛУ-модели
4.4. Об одной численной реализации фрактального броуновского движения
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Приложение
ВВЕДЕНИЕ
Современное состояние и актуальность темы исследований.
Поровое пространство многих встречающихся в природе и технике пористых материалов представляет собой сложную геометрическую структуру, моделирование которой возможно только самоподобными или самоаффин-ными геометрическими множествами дробной размерности, [3,7,9,21,23,24, 47,58]. Диффузия в таких средах является аномальной: для больших значений времени 1 средний квадрат перемещения растет по закону, [11,49,64],
Игл <г2(7)> = 1,
/»го
где Ва - коэффициент диффузии, а - показатель аномальности диффузии, то определяется в зависимости от задачи.
Случай а< 1 характеризуется запаздыванием роста среднего квадрата перемещения по времени и называется субдиффузией. Субдиффузия наблюдается в ряде таких горных пород, как песчаник, угольные пласты, [3], в средах с аэрогельной структурой, [47], а также торфяниках, [21], и других материалах, [11,24].
В настоящий момент неизвестно, как устроены математические модели аномальной диффузии в средах с поровым пространством Р дробной размерности. Эти модели должны удовлетворять закону аномальности и обладать тем свойством, что концентрация диффундирующего вещества должна определяться блужданием частиц на множестве F дробной размерности с определенными геометрическими свойствами.
Поэтому возникает актуальная задача построения математической модели субдиффузии на множествах Р дробной размерности.
Известными математическими моделями аномальной диффузии в настоящее время являются:

- модель фрактального броуновского движения (ФБД) в К , введенная Б.Мандельбротом, [76];

Утверждение 1.26. Для функции ДО, определяемой по формуле (1.19), средний квадрат перемещения в СТБЛУ-модели субдиффузии (В) удовлетворяет условию (1.7) при £»0.
Доказательство. Образ Лапласа / (,?) функции ДО имеет вид
7(5)-1-Л50ГГ(1-а,Л1/а5), где Г(Ь,А) - неполная гамма-функция, определяемая по формуле

Г(М)= е~ххЬ~1(Ьс,

и, так как для функции Г(Ъ,А) при 6е(0,1) имеет место оценка:

0< Г(Ь)-Г(Ь,А) <

то выполняется следующая оценка для /(«):
А1,а
1-АяаГ(1-а) < /(*) < 1- АэаГ(1-а) + - я, (1.20)

тогда
/(.у) ~ 1 - АяаГ(1-а) , я«1, откуда при у—>0 по теореме 1.24 следует искомое утверждение.
Утверждение 1.26 доказано.
В рассматриваемой нами модели (В) функция ДО зависит от размера ячейки: чем больше ячейка, тем дольше будет в ней блуждать, «задерживаться», частица. Приведенные на рис. 1.3 графики функции ДО при «=0.5 для разных значений шага сетки к иллюстрируют, что с ростом к действительно увеличивается плотность вероятности задержаться в ячейке на большее время.
На рис. 1.4 приведен график зависимости среднего квадрата переме
щения от времени <г (0>дискр, полученный экспериментально для процесса субдиффузии на евклидовой решетке с функцией ДО вида (1.19), в сравнении