Коллокационные методы со старшими производными и неявная экстраполяция численного решения

• Автор: Хрусталева, Екатерина Юрьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 128 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Обзор литературы
1.1 Одношаговые методы
1.2 Экстраполяционные методы
1.3 Автоматический контроль точности вычислений
2 Неявные экстраполяционные методы и локальный контроль точности
2.1 Автоматическое управление размером шага и порядком в явных одношаговых экстраполяционных методах
2.2 Автоматическое управление размером шага и порядком в неявных одношаговых экстраполяционных методах
2.3 Вычислительные эксперименты
3 Неявные экстраполяционные методы и глобальный контроль точности
3.1 Локально-глобальное управление размером шага и порядком экстраполяционных методов
3.2 Вычислительные эксперименты
4 Коллокационные методы со старшими производными и глобальный контроль точности
4.1' Присоединенные и симметричные РК-методы со старшими производными
4.2 Эффективная реализация Е-методов и упрощенные итерации Ньютона
4.3 Локально-глобальное управление размером шага и порядком в одногаа-
говых коллокацнонных методах со старшими производными
4.4 Вычислительные эксперименты
Заключение
Литература
А Библиотека программ
А.1 Функции и структуры для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений
А.1.1 Заголовочный файл numerics .h
А.1.2 Структура odestruct
А.1.3 Структура controlopt

А.1.4 Структура statistics
А.1.5 Заголовочный файл loccontr.h
A.I.6 Заголовочный файл lgcontr.h
A.1.7 Пример использования функций библиотеки

Введение
Математическое моделирование является в настоящее время одной из важнейших составляющих научно-технического прогресса. Без применения этой методологии в развитых странах ие реализуется ни один крупномасштабный проект.
С одной стороны, это связано с тем, что некоторые новые области науки и техники, такие как противоракетные системы, нанотехнологии, электроника сверхбольших мощностей и др., требуют проведения колоссального объема вычислительных работ. Прямой натурный эксперимент в этих областях попросту невозможен. Да и большинство экологических, экономических, социальных и других систем, изучаемых современной наукой, больше не поддается исследованию (в нужной полноте к точности) обычными теоретическими методами.
Л с другой стороны, это связано с впечатляющим развитием электронно-вычислительной техники. За нятьдесят-шестьдесят лет, прошедших с момента изобретения первых ЭВМ (электронно-вычислительных машин), достижения в этой области превысили все ожидания. Появление супер-ЭВМ (суперкомпьютеров, с огромной вычислительной мощностью), резко увеличило возможности построения и исследования сложных математических моделей.
Основу математического моделирования составляет триада “модель — алгоритм — программа”. На первом этапе строится математическая модель исследуемого объекта. Математическая модель является приближенным представлением реальных процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим наиболее существенные черты оригинала. Явления, изучаемые различными областями науки, часто приводят к сходным математическим моделям. Так, например, многие реальные объекты физики, механики, химии, биологии и т.д. адекватно описываются дифференциальными уравнениями [7, 8, 34, 44, 45, 100, 101].
На втором этапе происходит выбор или разработка алгоритма для исследования математической модели. Прямой, натурный эксперимент заменяется математическим. Исследование модели или ее основных характеристик аналитическими методами возможно только в исключительных случаях. Чаще всего таким способом можно изучить простейшие модели или получить только предварительные знания об объекте, рассмотреть его поведение лишь в частных случаях. В общем же случае, если и существуют теоретические методы достижения решения, то они настолько трудоемки, что не представляют практического интереса. Анализ более сложных моделей требует создания специальных, как правило, численных или асимптотических методов решения задач. Вычислительные алгоритмы не должны искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта. В противном случае, встает вопрос о целесообразности использования таких методов. Для практического исследования математических моделей используют разного рода численные методы, заменяющие исходную непрерывную систему ее дискретным аналогом.

Рис. 1.2: