Разработка алгоритмов и программ символьно-численного решения уравнений классической механики

• Автор: Богачев, Василий Евгеньевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 184 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Символьно-численные вычисления нормальной формы и приближенных интегралов движения для гамильтоновых систем с произвольным числом степеней свободы
Введение
1.1. Метод Биркгофа-Густавсона
1.2. Нормализация одномерного ангармонического осциллятора с четвертой степенью нелинейности
1.3. Описание алгоритма вычисления нормальной формы и интегралов движения гамильтоновых систем с произвольным числом степеней свободы
1.4. Результаты символьно-численных вычислений
нормальных форм и интегралов движения для некоторых гамильтоновых систем
2. Применение метода нормальных форм Биркгофа-Густавсона к аналитическому построению сечений Пуанкаре и квантованию гамильтоновых систем с двумя степенями свободы
Введение
2.1. Алгоритм применения нормальной формы Биркгофа-Густавсона к построению сечений Пуанкаре для систем с двумя степенями свободы
2.2. Восстановление структуры фазового пространства при помощи дополнительного интеграла движения, вычисленного по программе ВЮМА
2.3. Применение метода Биркгофа-Густавсона к квантованию двумерных гамильтоновых систем
3. Алгоритмы и программы построения функции Грина для краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений II порядка
Введение
3.1. Построение функции Грина для дифференциальных уравнений второго порядка
3.2. Алгоритм построения функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
3.3. Примеры работы программы СКЕБА для построения функции Грина обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
3.4. Построение функции Грина для дифференциальных уравнений второго порядка в виде обобщенных рядов
3.5. Алгоритм построения функции Грина для уравнений

второго порядка в виде обобщенных рядов Примеры работы программы GRESSA построения функции Грина для уравнений второго порядка в виде обобщенных рядов
Алгоритмы и программы построения функции Грина для краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений III порядка
Введение
Построение функции Грина для уравнений третьего порядка при известной фундаментальной системе решений Алгоритм построения функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка в явном аналитическом виде
Примеры работы программы GRETA символьно-
численного построения функции Грина Построение функции Грина для уравнений третьего порядка в виде степенных рядов
Алгоритм построения функции Грина для уравнений
третьего порядка в виде степенных рядов
Примеры работы программы GRETSA построения
функции Грина для обыкновенных дифференциальных
уравнений третьего порядка в виде степенных рядов
Заключение
Список литературы
Приложение А
Приложение Б
Приложение В
Приложение Г
Приложение Д
Приложение Е

Введение
Актуальность работы. Большинство задач классической механики в форме обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений и их систем не могут быть решены в явном аналитическом виде [1-8], поэтому разработаны и разрабатываются различные приближенные методы [9-14] и прямые численные расчеты [15-21].
Перспективным направлением математического моделирования является разработка гибридных или комбинированных методов, в которых вначале производятся аналитические вычисления с последующими, при необходимости, численными расчетами с использованием современных известных математических систем компьютерной алгебры, например, Maple, Reduce, Mathematica и других [22-26].
В частности, нормализация и построение формальных интегралов движения для даже одномерных гамильтоновых систем требует крайне трудоемких вычислений, которые практически невыполнимы без использования ЭВМ. В диссертационной работе разработаны алгоритмы и составлены программы в системе Maple для символьно-численных вычислений нормальной формы Биркгофа-Густавсона и приближенных интегралов движения для автономных гамильтоновых систем с произвольным конечным числом степеней свободы [27-29].
Для двумерных консервативных гамильтоновых систем на основе метода Биркгофа-Густавсона разработан алгоритм и составлена программа в среде Maple, с помощью которой можно восстановить структуру фазового пространства (сечения Пуанкаре) для энергии, не превышающей ее критического значения до перехода системы в хаотический режим движения [4, 30-33].
Как известно [33, 34-38], знание функции Грина, если она существует, позволяет, в частности, вычислить решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с заданными краевыми условиями, а также найти собственные значения и функции краевой задачи.

1 = РРг + Ш + 4сШ(?.2 + Яг ) • С1 •4Л°)
Рис. 1.3. Изолинии ППЭ (1.4.96) при с = 0.
Для этой функции Гамильтона была получена [75, 76] нормальная форма:
С6 = + С(3) + <7(4) + С7(5) + С(6), (1.4.11)

/-,(2) 1 2,1 2,1 2,1 2 ° =2Рг ~Чх 2Рг 241’
в3 = 0,
&4) = ^ ^ + сп№ +|«7,2£ +
2 + ^«72^2 + + СЧ + |с%4,
С7(5)=0,
о«> = -
ьк ~г£~Ъ.сЧ' "
-^2ЙЙ ~оЧ^1 -§‘2ЙЙ-|ф2йй -
51 2^4 2 51 о 4-т 51 7-7 4 255 7 4 2 255 742 51 2 И г
~Ъ2 ^ Ъ " 32 С Лх ^ ~ 32С ^ 72 ~^2~С 77271 ~”з2_С 771772 %гП&Ъ
и приближенный интеграл движения [75, 76]: