Моделирование диссипативных структур в стохастических реакционно-диффузионных системах

• Автор: Желнов, Юрий Валериевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 116 с. : ил.

Введение
Содержание

Глава 1. Аналитические методы исследования стохастических пространственно
распределенных моделей типа «реакция-диффузия»
1.1. Постановка задачи
1.2. Метод моментов
1.3. Приближение среднего поля
1.4. Обобщенные уравнения Гинзбурга - Ландау для усредненных амплитуд неустойчивых мод
1.5. Уравнение Фоккера - Планка для параметров порядка
Глава 2. Численные методы исследования стохастических пространственно распределенных моделей типа «реакция-диффузия»
2.1. Метод переменных направлений Писмена — Рэчфорда
2.2. Метод численной оценки энтропии информации на основании матриц вхождения
2.2.1. Энтропия информации
2.2.2. Матрицы вхождений
2.2.3. Численная оценка энтропии информации на основании матриц вхождений
2.3. Комплекс программ «Исследование статистических характеристик стохастических систем «реакция-диффузия»
Глава 3. Исследование стохастической пространственно распределенной модели Шеффера
3.1. Модель Шеффера
3.2. Аналитическое исследование модели Шеффера
3.2.1. Уравнение Гинзбурга - Ландау для параметров порядка в модели Шеффера
3.2.2. Уравнение Фоккера - Планка для плотности распределения вероятности критической моды в модели Шеффера
3.3. Численное исследование модели Шеффера
3.3.1.Моделирование динамики образования диссипативных структур в модели Шеффера в зависимости от интенсивности внешнего шума
3.3.2. Шумоиндуцированное параметрическое возбуждение солитоноподобных структур в модели Шеффера
3.3.3. Исследование зависимости динамики образования диссипативных структур от радиуса корреляции внешних полей на основании численной оценки энтропии информации
Заключение
Приложение Л
Приложение В
Список литературы

Введение
Шумы различного происхождения являются неотъемлемой частью окружающего нас мира. Во многом именно шумы отвечают за разнообразие наблюдаемых явлений. В пространственно распределенных системах шумы приводят к возникновению пространственных структур [8; 14; 15; 61; 65; 72; 87; 139] и фронтов [71; 88], резонансных структур и индуцированным шумом фазовым переходам [20; 32; 81], явлениям захвата частоты [42] и разделения фаз [28], пространственно временной перемежаемости [89] и пространственно временному стохастическому резонансу [13; 22; 50], бегущим и конвективным поддерживаемым шумом структурам [70; 83], шумоиндуцированной
синхронизации [10; 58; 77] и т.д.
В последние десятилетия интенсивно разрабатываются и исследуются математические модели, предназначенные для описания, предсказания и объяснения представленных выше феноменов. Одной из них является модель реакция-диффузия с включенными в нее мультипликативными и аддитивными шумами:

Оі ,ч
+ Д (?./) + ДУІту (1.1)
где к= 1,2,3,..., Л'А - функции СОСТОЯНИЯ системы, /[(л-,,..,*;.-/), С/;,(л-,.X,./) -
функциональные зависимости, определяющие взаимодействие и эволюцию компонент Л'А В пространстве И ВО времени, Дг - коэффициенты диффузии компонент, %=(Х,-■;Хп) - вектор, компоненты которого являются управляющими параметрами, описывающими воздействие на систему внешнего окружения, / -число флуктуирующих параметров, - их пространственно-временные средние, Д,(г./) - мультипликативные и /у(г./) - аддитивные шумы с заданными статистическими характеристиками, причем /(,(гл) =0. Д (г.г) = 0.
Детерминированный аналог системы (1.1) применяется для исследования многообразных явлений в различных областях знаний: физике [34; 94; 97; 103;

1.5. Уравнение Фоккера-Планка для параметров порядка.
Если параметры модели таковы, что она находится в закритической области, то с увеличением интенсивности шума модель будет «уходить» все дальше от точки бифуркации детерминированной модели. При этом для корректного описания динамики модели необходимо применить УФП.
Для вывода УФП в полученных уравнениях для параметров порядка (1.21) ограничимся только слагаемыми, имеющими третий порядок малости. Тогда эти уравнения примут вид:
своей громоздкости здесь не представлены и описаны в приложении А диссертационной работы. ./) ДО = _("./ 1(г-1)е~1’:'с(г - компоненты случайного
векторного поля 7(1), имеющие нулевые средние, а £ и к — индексные аргументы этого поля. Корреляционные функции для компонентов поля /'(/) будут иметь
Уравнение Колмогорова - Фоккера - Планка для системы (1.22) может быть представлено в виде [164]:
где использовано обозначение (/), (г)] = (Т5) (/) - /у, (г))—(/))(/П(г)).
После выполнения необходимых преобразований были получены следующие соотношения:
(1.22)
(1.23)