Метод численного моделирования газодинамических течений и его применение в задаче о Т-слое

• Автор: Галанина, Анна Михайловна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 116 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Сплайн-схема для решения линейного и квазилинейного уравнений переноса
1.1 Постановка задачи
1.2 Построение и исследование сплайн-схемы для линейного уравнения переноса
1.3 Результаты расчётов. Перенос различных профилей
1.4 Сплайн-схема для квазилинейного уравнения переноса
1.4.1 Построение точного решения. Геометрическая интерпретация
1.4.2 Построение разностной сплайн-схемы. Учет нелинейности
при аппроксимации потоков
1.5 Примеры численного решения. Сравнение с монотопизированной схемой К.И. Бабенко
2 Квазиакустическая схема
2.1 Постановка задачи
2.2 Квазиакустическая схема для одномерной системы уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа
2.2.1 Уравнение неразрывности
2.2.2 Уравнение движения

2.2.3 Уравнение энергии
2.3 Аппроксимация интегральных потоков
2.3.1 Линеаризованная система
2.3.2 Аппроксимация потоков
2.3.3 Интерполяция сеточных функций. Построение фоновых значений
2.3.4 Алгоритм вычисления интегральных потоков
2.4 Результаты расчётов для одномерной системы в переменных Лагранжа
2.5 Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера
2.6 Результаты расчётов для одномерной системы в переменных Эйлера. Сравнение со схемой Роу-Эйнфельдта-Ошера
2.7 Квазиакустическая схема для двумерной задачи
2.8 Результаты численного решения двумерной системы уравнений
газовой динамики
3 Развитие двумерных возмущений в потоке слабопроводящего газа в магнитном поле
3.1 Постановка задачи
3.2 Алгоритм численного решения
3.2.1 Уравнение диффузии магнитного поля
3.2.2 Джоулев нагрев и сила Лоренца. Пересчет решения с учетом электромагнитного взаимодействия
3.3 Результаты вычислительных экспериментов
Заключение

Введение
Актуальность темы
В математическом моделировании для описания сплошной среды (газ, жидкость, плазма и др.) чаще всего используются модели, приводящие к дифференциальным и интегро-дифференциальным уравнениям. Важный класс задач представляют собой системы уравнений гиперболического типа [49, 61]. С решением уравнений гиперболического типа тесно связаны такие прикладные задачи, как расчет движения сжимаемого газа, описание явлений магнитной гидродинамики, решение астрофизических проблем, задачи теории „мелкой воды“ и химической сорбции, проблемы теории поверхностей. В силу нелинейности уравнений, встречающихся в моделях перечисленных явлений, основным способом решения и исследования систем этого типа являются численные методы.
Существует большое число различных методов численного решения гиперболических уравнений. Новые алгоритмы продолжают появляться и в настоящее время. Это связано, во-первых, с важностью и широтой применения гиперболических уравнений в математическом моделировании различных процессов. Во-вторых, в силу особенностей этих уравнений, к методам их решения предъявляются высокие требония, порой вступающие в противоречие друг с другом. Поэтому оптимального со всех точек зрения алгоритма нет, и все новые численные методы будут появляться.
Решения нелинейных гиперболических уравнений (в отличии от линейных) часто обладают свойством неограниченного возрастания производных со временем, что называется градиентной катастрофой [49]. В результате даже при

** А=А, хк+

Рис. 1.7. Интерполяционные сплайны. Физическая интерпретация интегрального потока.
Рассмотрим в момент времени tj ячейку , хк+1 (рис. 1.7). Потребуем, чтобы шаги сетки /?,, т удовлетворяли условию
Как отмечалось выше, в соответствии с квазилинейным уравнением переноса (1.2) каждая точка с координатами (хк, ук) за время т смещается вправо параллельно оси Ох на величину укт и переходит в точку с координатами (хк+Укт- Ук) [49]. Кроме того, как было показано, квазилинейное уравнение переноса линейный профиль переводит в линейный.
Рассмотрим три характерные точки: А - точка с координатами [хк+к, 0). В -правый конец сплайна в ячейке [хк_к, хк+^, С - левый конец сплайна в ячейке (рис. 1.7). Найдём, в какие точки они перейдут согласно изложенной схеме:
Согласно условию (1-12) ни одна из точек АВ1, С' не выйдет за пределы ячей-
(1.12)
тах/о(х)

А{хкц, 0) А'(хкц + 0 • г, 0) = А'(хк+к, 0) = Л;