Математическое моделирование процессов параметрических колебаний

• Автор: Лысенкова, Светлана Александровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Сургут
• Количество страниц: 100 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Обзор литературы. Развернутая формулировка цели работы и решаемых проблем
1.1. Обзор литературы
1.2. Развернутая формулировка цели работы и решаемых проблем. Научная новизна исследования
ГЛАВА 2. Математический метод перехода от постановки задачи
исследования устойчивости параметрических колебаний с демпфированием к спектральной задаче в дифференциальной форме
2.1. Постановка задачи о границах устойчивости уравнения параметрических колебаний при наличии демпфирования
2.2. Сведение задачи о границах устойчивости уравнения параметрических колебаний при наличии демпфирования к спектральной задаче в дифференциальной форме
ГЛАВА 3. Замена спектральной задачи в дифференциальной форме
исследования параметрических колебаний с демпфированием спектральной задачей в операторной форме с компактным оператором
3.1. Операторная форма спектральной задачи
3.2. Численные расчеты. Описание программного комплекса
ГЛАВА 4. Математический метод перехода от задачи исследования
прецессии колебаний маятника на кардановом подвесе к спектральной задаче
в дифференциальной форме
4.1. Маятник на кардановом подвесе
4.2. Математическая постановка задачи исследования прецессии колебаний маятника на кардановом подвесе
ГЛАВА 5. Замена спектральной задачи о прецессии маятника на кардановом
подвесе спектральной задачей в операторной форме с компактным оператором и численное решение этой задачи
5.1. Операторная (форма спектральной задачи
5.2. Численные расчеты
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Колебательное движение - одно из самых распространенных в природе: разнообразные маятники, колебания атомов и молекул, колебания мембран и оболочек и др.
Потеря устойчивости функционирования технических или физических систем носит разнообразный характер. Одним из видов этой потери устойчивости является потеря устойчивости при параметрических колебаниях. Под параметрическими колебаниями понимают колебания, при которых внешнее периодическое воздействие на систему входит не в виде слагаемых в уравнение колебаний, а в виде периодических коэффициентов при дифференциальных операторах.
При исследовании параметрических колебаний возникают определенные математические трудности. Поэтому во многих случаях они проводились приближенными методами. Однако приближенные методы не дают математически корректного моделирования процессов параметрических колебаний.
Эта проблема встречается чаще всего в двух случаях: когда
параметрические колебания сопровождаются наличием демпфирования, то есть внутреннего или внешнего трения, и когда параметрические колебания сопровождаются дополнительным движением системы в виде прецессии. Примером параметрической колебательной системы при наличии демпфирования могут быть качели, которые раскачивают стоя на них и приседая в такт колебаниям, а демпфирующей силой при этом является в основном аэродинамическое сопротивление. Явление прецессии встречается в гироскопических системах, а также в задачах небесной механики.
Одна из интересных особенностей такой системы с параметрическими колебаниями - параметрический резонанс. Параметрический резонанс состоит в том, что при некоторых соотношениях величин являющихся

параметрами уравнения колебаний в системе возникают нарастающие во времени колебания.
Следует учесть, что наличие внешнего или внутреннего трения не только ограничивает амплитуду параметрических колебаний, но и меняет зоны параметрического резонанса. Поэтому определение границ зон устойчивости параметрических колебаний с демпфированием при параметрическом резонансе и является важным для исследования устойчивости технических систем
При параметрических колебаниях может возникать прецессия. Явление прецессии заключается в движении оси вращения тела, при котором ось описывает круговую коническую поверхность.
Таким образом, моделирование процессов параметрических колебаний систем при наличии трения и прецессии представляет интерес для исследования устойчивости физических и технических систем
Математические модели параметрических колебаний представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка, содержащие переменные коэффициенты. Для таких уравнений точное решение не было получено и на практике используют приближенные методы (метод Ритца, метод Бубнова-Галеркина и др.). Поэтому возникает проблема математически корректного моделирования процессов параметрических колебаний.
Математически корректное моделирование фактически состоит из трех этапов. Первый этап заключается в разработке спектральных уравнений в дифференциальной форме, которые бы давали возможность в плоскости параметров строить зависимости описывающие данные явления, т.е. границу между областями устойчивости и неустойчивости для уравнения параметрических колебаний при демпфировании, и области параметров, для которых может существовать прецессия. Второй этап заключается в переходе

м>3, (0)[1 - ехр{ 2т) + м>А (0)[1- ехр(-2л{а + 3))] = О,
I (0)1)- ехр(2тяк)+зт4 , (0)[1 - ехр(-2лк(я + 5))] = 0.
Определитель в этой системе тот же самый, что и в системе (2.37). Поэтому аналогичный анализ приводит к следующему результату.
В области — < 5 < 0, 0 < 5 < оо| существует только тривиальное
решение >т3,(0) = 0,щ4,(0) = 0 и, следовательно, а„(0) = 0, а нетривиальное решение существует только при 5 = 0. Так как а(?) удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка, то из условий
мультипликаторы сг,=-1, сг2 = -ехр{~Эл), которые по теореме
принадлежат кривой Г.
Для участка (2.16) кривой Ь представление Флоке отличается лишь тем, что - к- периодические функции. Но п- периодические функции
являются и 2л -периодическими функциями, поэтому проверку теоремы для участка (2.16) делать не будем, так как она дает такие же результаты, что и для участка (2.17). Единственная разница заключается в том, что нетривиальному решению для 5 = 0 будут соответствовать мультипликаторы сг, =1, <т2 = ехр(-3л).
Проверка теоремы на участке (2.18) кривой Ь дает следующие результаты.
При использовании представления (2.23) и условий г(0) = г(2л), г(0) = г{4л) получается только тривиальное решение
и'1(0) = 0, ^2(0) = 0, следовательно, г(0) = 0.
А при использовании равенств
г,, (0) = ехр(23л)г,1 (2кл),

г(0) = 0,г„ (0) = 0, следует, г(() = 0, в области
5 = 0 имеем г(/) Ф 0. Параметру 5 = 0 из (2.22) соответствуют