Полулинейные модели вырожденных эволюционных процессов

• Автор: Давыдов, Павел Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 143 с. : ил.

Содержание
Введение
Актуальность темы исследования
Степень разработанности темы исследования
Цели и задачи
Научная новизна
Теоретическая и практическая значимость работы
Методология и методы исследования
Положения, выносимые на защиту
Степень достоверности и апробация результатов
Краткое содержание диссертации
1 Предварительные сведения
1.1 Нелокальная разрешимость невырожденного полулинейного эволюционного уравнения
1.2 Относительные резольвенты
1.3 Относительно р-радиальные операторы
1.4 Относительно а-ограниченныс операторы
2 Локальная разрешимость полулинейных моделей вырожденных эволюционных процессов
2.1 Полулинейное невырожденное эволюционное уравнение
2.2 Локальная разрешимость некоторых классов
вырожденных полулинейных моделей
2.3 Модифицированные модели фильтрации
в трещиновато-пористой среде
2.4 Модели обобщенного гидродинамического типа
2.5 Сильно вырожденная модель движения жидкости
Кельвина- Фойгта

3 Нелокальная разрешимость полулинейных моделей вырожденных эволюционных процессов
3.1 Нелокальная разрешимость в смысле классического решения . .
3.2 Нелокальная разрешимость в смысле сильного решения
3.3 Модель эволюции свободной поверхности
фильтрующейся жидкости
3.4 Один пример нелинейной модели
с сильно (Ь, 1)-радиальным оператором
3.5 Квазистационарная модель фазовых переходов первого рода . .
4 Численное решение модели Осколкова
4.1 Разностная схема модели Осколкова
4.2 Линеаризованная модель
4.3 Порядок аппроксимации численного метода
4.4 Устойчивость разностной схемы
4.5 Численный эксперимент
4.6 Алгоритм и программная реализация численного метода
Список обозначений и соглашений
Список литературы
Список иллюстративного материала
Приложения
Исходный код программы «Численное решение системы уравнений
Осколкова»
Введение

Актуальность темы исследования
Математические модели многих процессов в естествознании и технике представляют собой начально-краевые задачи для нелинейных уравнений или систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по выделенной переменной, как правило по времени. Особый класс образуют уравнения или системы, содержащие при этой производной вырожденный линейный оператор, т. е. оператор с нетривиальным ядром. Это может быть дифференциальный оператор по пространственным переменным, как у многих математических моделей теории фильтрации, или матрично-дифференциальный оператор соответствующий системе уравнений, не содержащей производных по времени от одной из неизвестных функций или содержащей уравнение без производных но времени. Таковыми, например, являются системы уравнений, описывающие процессы в несжимаемых сплошных средах и поэтому содержащие уравнение несжимаемости V = 0. При этом уравнения или их системы рассматриваемого класса
могут быть, и часто являются, нелинейными или квазилинейными относительно частных производных по пространственным переменным, а потому и в целом, являются полулинейными при их операторной записи с выделением переменной времени.
Далее уравнения с вырожденным оператором при производной по времени будем называть вырожденными эволюционными уравнениями, а описываемые ими процессы — вырожденными эволюционными процессами. Если такое уравнение (система уравнений) не является линейным, но линейно относительно производной по времени, то оно будет называться полулинейным вырожденным эволюционным уравнением. Моделям процессов, описываемых именно такими уравнениями, посвящена данная работа.
Математические модели вырожденных эволюционных процессов не укла-

(іі) З К > 0 /ц > а УпЕ N
тах{||(^(М))^+1)||/:(ІІ)!||(^(М)Г^1)|и№)} < (м-_^іг (Яр)-радиальньш оператор М называется сильно (Ь,р)-радиальным, если

существует плотный в 3 линеал 5 такой, что
||МЫ, - М)-1(^(М))'«/Ь < (‘°“5^2 V/ €5;
||(^(М)ГЧ^-М)^|1£(541) < (^)рИ
при любом [л > а.
Лемма 1.3.1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда
(i) длины всех цепочек М-присоединенных векторов оператора Ь ограничены числом р;
(ii) множество кег Д^^(М) совпадает с М-корневым пространством оператора Ь
(ІІІ) кег Я^р)(М)Піт Я^р){М) = {0}, кегЬ{^р)(М)ПітЬ^г){М) = {0}; (іу) существует оператор М^1 Є £(3°;Л°).
При условии сильной (Ь,р)-радиальности оператора М введем обозначения Я = М^1 Ьц, 7 = ■ Через IIі (З1) обозначим замыкание линеала
ітЯ^р)(М) (іт Ь^р^{М)) в норме пространства Л или 3 соответственно.
Лемма 1.3.2. Пусть оператор М сильно {Ь,р)-радиален. Тогда
(i) операторы II и ./ нильпотентны степени не больше р;
(ii) Д = Д°ЄІІ 3 = 3° ©З1;
(iii) Р = з- Ит (рР.^(М))р+1, = в- Ііт (р,іЛ(М))р+1 — проекторы,
/2—> + 00 ' Д—>+00 '
причем кег Р = іі°, іт Р = И1, кег <3 = 3°, іт ф = З1 •
Рассмотрим уравнение
Ьй(і) = Ми(і).
(1.3.1)