Моделирование динамики распределенных систем с запаздывающей обратной связью

• Автор: Захаров, Андрей Павлович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 155 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
1. Моделирование систем с запаздывающей обратной связью
2. Адаптивный численный метод для расчета динамики систем
с наследственной или запаздывающей обратной связью
2.1. Метод конечных разностей для расчета пространственно-распределенных систем с наследственной или запаздывающей обратной связью
2.2. Программная реализация метода
2.3. Тестирование метода
2.3.1. Численный расчет системы с постоянным запаздыванием, имеющей точное решение
2.3.2. Численное решение системы уравнений типа реакция-диффузия, содержащие нелокальное слагаемое с
дискретным запаздыванием
2.3.3. Численный расчет системы уравнений типа реакция-диффузия с дискретным запаздыванием
на плоскости
3. Численное исследование пространственно распределенных систем с запаздыванием по времени
3.1. Применение разработанного метода для численного моделирования процессов реакции-диффузии белков
3.1.1. Постановка задачи
3.1.2. Результаты моделирования
3.2. Применение разработанного метода для расчета дискретной модели роста эпителия

3.2.1. Постановка задачи
3.2.2. Результаты моделирования
Заключение
Литература
Приложение

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Если состояние динамической системы в данный момент времени зависит от всей её предыдущей эволюции (или некоторого интервала предыстории, в т.ч. нулевой меры), то такие системы называют наследственными (или запаздывающими). В последнее время системы такого типа вызывают все больший интерес у исследователей в связи с многочисленными приложениями, которые включают популяционную динамику и социальные процессы, нелинейные химические реакции, процессы генной регуляции, поведение систем с автоматическим управлением, механику деформируемых твердых тел с памятью, механику реологических сред и т.д. Запаздывание может быть обусловлено самыми различными причинами: ограниченностью скорости распространения сигнала (например, электромагнитной волны), растянутостью изучаемого процесса во времени (воспроизводство популяции), наличием инерционности некоторых элементов (в теории управлении с обратной связью), существованием длинных цепочек многоэтапных реакций с известным результатом в конце (в процессах генной регуляции) и т.д.
Как правило, эволюция подобных систем в пространстве и времени описывается интегро-дифференциальными уравнениями, хотя существуют и другие методы. Е1апример, в механике деформируемого твердого тела существует альтернативный подход к исследованию наследственных сред - введение внутренних переменных. В подавляющем числе практически важных случаев задачи с наследственной или запаздывающей обратной связью не имеют аналитического решения, а получение численного решения затруднено требованием данных о состоянии системы в пределах всего временного диапазона эволюции (или запаздывания). На практике такой подход реализуем только для сравнительно малоразмерных моделей с небольшим временем эволюции или запаздывания. В противном случае объём оперируемых данных и время расчета значительно возрастают. Оценки по-

опорных слоев
Необходимо заметить, что восстанавливаемый временной слой всегда находится между первым и вторым опорными слоями (рисунок 3). Если функция С(?) достаточно гладкая, то при построении полинома для сокращения времени расчета можно принимать во внимание только эти опорные слои. Но в общем случае для N опорных слоев многочлен Ньютона имеет вид:
Ри (г - г, X, у, г) = Я(иви (х, у, г)) + (/ - т - /М1 Ж*УШ (х, у, г), иВ11 (х, у, г)) +
+ 0-г-^,Х^-т-^2)---0-г-1ви,)Я([/й11(х,у,г),...,иш,(х,у,г)) (16)
где Я — разделенная разность соответствующего порядка N, — время опор-
ного слоя N, иВ1ц (х, у, г) — компонента вектора и для слоя N. Общее число хранимых слоев N в периоде запаздывания зависисит от параметра К и шага по времени. В простейшем случае, когда К и шаг по времени в фиксированы, значение N можно определить как N = т/(Кв), а в случае использования адаптивного метода хранения опорных слоев, на каждом шаге по времени форсмула (16) имеет тот порядок N, который соответствует количеству опорных слоев, в момент времени ?. Важно, что изложенный метод адаптивного хранения совершенно не зависит от численной схемы — он лишь устанавливает порядок хранения данных за время эволюции (или время запаздывания) системы. Например, данный