Математическое моделирование колебаний струнных и стержневых систем с локализованными особенностями

• Автор: Меач Мон
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 135 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Математическая модель малых колебаний стилтьесов-
ской струны
1.1 Модель вынужденных колебаний струны со сосредоточенными массами
1.2 Единственность решения математической модели вынужденных колебаний струны с особенностями
1.3 Корректность математической модели малых колебаний струны с произвольным распределением масс
2 О возможности применения метода Фурье
2.1 О разложении функций из Е в ряд Фурье но собственным функциям
2.2 О некоторых свойствах собственных функций
2.3 Доказательство возможности применения метода Фурье .
3 Математическая модель малых колебаний стержневой
системы
3.1 Модель малых поперечных колебаний стержня с особенностями
3.2 Единственность решения математической модели малых вынужденных колебаний стержневой системы
3.3 Корректность математической модели малых вынужденных колебаний стержневой системы
4 Адаптация метода конечных элементов для математиче-
ских моделей с негладкими решениями и численные эксперименты
4.1 Построение алгоритма для математической модели второго порядка
4.2 Оценка скорости сходимости

4.3 Построение алгоритма для математической модели четвертого порядка
4.4 Оценка скорости сходимости
4.5 Численные эксперименты
4.5.1 Первый пример
4.5:2 Второй эксперимент
4.6 Комплекс программ для реализации численных экспериментов
Заключение
Литература
А Приложения
А.1 Текст программы Mon. 1.3.0.ру
А.2 Значения приближенного решения в.первом численном
эксперименте
А.З Значения приближенного решения во втором численном
эксперименте

Актуальность темы. Математическое моделирование бурно развивается: расширяются объекты, как с позиций размерности, так и с учётом нелинейных составляющих изучаемого объекта. Несмотря на это остаются объекты, моделирование различных процессов в которых либо трудно формалируемо, либо невозможно. Это особенно актуально в случае, когда математическая модель реализуется в виде граничной задачи. В этом случае трудности, возникающие, как при анализе полученных моделей, так и при численном решении, вызваны отсутствием производных у решения (а в ряде случаев и «разрывностью» решения). Подобные проблемы обычно решаются с привлечением теории обобщенных функций (Завалищин С.Т., Сесекин A.H., Дерр В.Я., Кинзебулатов Д.М., Владимиров B.C., Егоров Ю.В., Антосик П., Минусинский Я., Сикорский Р., Маслов В.П., Цупин В.А., Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. и многие другие). На этом пути возникает ряд проблем, например, проблема интерпретации умножения обобщенной на разрывную, которая в классическом пространстве D' (линейных непрерывных функционалов над D — пространством бесконечно дифференцируемых финитных функций) неразрешима. Переходя к алгебре обобщенных функций Коломбо эту проблему пытаются «обойти». Но на этом пути возникают определенные трудности и неудобства при анализе решений. Для дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих особенности типа (5-функции, удалось решить ряд вопросов качественной теории (Мышкис А.Д. и Владимиров A.A.). Другая проблема — слабая разрешимость краевых задач, что для приложений недостаточно.
Главное направление развития здесь диктовала спектральная теория. В спектральных вопросах наиболее эффективны теория обобщенных функций и теория операторов (Гельфанд И.М., Шилов Г.Е., Гохберг И.Ц., Крейн М.Г., Левитан Б.М., Саргсян И.С., Като Т., Марченко В.А., Рид М., Саймон Б., Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден X., Гасымов М.Г., Михайлец В.А., Винокуров В.А., Садовничий В.А., Нейман-заде М.И., Шкаликов A.A., Korotyaev E., Митягин Б.С., Хромов
А.П., Савчук A.M., Ширяев Е.А., Djakov Р., Джаков П., Hryniv R.O., Mykytyuk Ya.V. и многие другие).
Моделирование колебательных процессов струнных и стержневых систем возникают во многих отраслях естествознания и техники, и здесь можно отметить работы В.А. Ильина, Нахушева А.М., Нахушевой В.А., Знаменской Л.H., Чабакаури Г.Д., Бахвалова Н.С., Эглит М.Э., Боровских A.B. и многих других. В то же время, как правило, наличие у внешней среды локализованных особенностей приводящих к потере гладкости

ввиду того, нто /(0) = /(£) = 0 (здесь мы первый интеграл проинтегрировали по частям, и затем воспользовались тем, что <рь(х) является амплитудной функцией, отвечающей собственной частоте /АД и

Iр{х)(р'к(х)1р'т{х) <1х + ! щ{х)1рп{х)^а{х) йа = | о о
Покажем, что
Ф(#) ^ Алг+ь (2.1.4)
где Адг+1 — _{М + 1)-ое собственное значение задачи (2.0.2). Доказательство разобьем на 4 этапа.
1. Рассмотрим задачу о нахождении минимума функционала Ф(Х) при условии

У М’а{х)Х2{х)йа = 1 (2.1.5)

на множестве Е абсолютно непрерывных на [ОД] функций, первая производная которых имеет конечное на [0; изменение и обращающихся в нуль в концевых точках отрезка [ОД]. Как следует из результатов работ [32], [14] минимум достигается в классе допустимых функций. Тогда, осуществляющая его функция должна удовлетворять при некотором А уравнению Лагранжа-Эйлера для функционала

ф0(Х) = Jр(х)Х'х)с1х + I Х2(т)<Х(х) йа - А ^ М’а{х)Хх) (1а,
0 0 о
которое совпадает с уравнением — (рХ')’а + ХС^'^ = АМ'аХ, более того, граничные условия также совпадают с граничными условиями в
(2.0.2). Поэтому, функция р(х), дающая минимум Ф(Х) при условии е
! М'а{х)Х2{х) (1сг = 1, является собственной функцией спектральной за-
дачи (2.0.2). Более того, значение функционала Ф(Х) на этой функции равно А:

ф(^1 ) = У р{х)ч%(х) (1х + J ц>1(х)С}'а(х) йа = о о