Исследование математических моделей нелинейных оптических систем с запаздыванием

• Автор: Романенко, Татьяна Евгеньевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 136 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Математическое моделирование вращающихся волн в кольце
1.1. Описание модели
1.2. Свойства линеаризованного оператора в кольце
1.3. Существование решения
1.4. Исследование коэффициентов разложения решения по малому параметру
1.5. Численное моделирование бегущих волн в кольце
Глава 2. Математическое моделирование вращающихся волн в
круге
2.1. Постановка задачи
2.2. Свойства линеаризованного оператора в круге
2.3. Существование решения
2.4. Анализ коэффициентов разложения
2.5. Численное моделирование вращающихся волн в круге
Глава 3. Нормальная форма бифуркации Андронова-Хопфа
3.1. Общая схема построения нормальной формы
3.2. Нормальная форма Андронова-Хопфа задачи в кольце
3.3. Нормальная форма Андронова-Хопфа задачи в круге
Глава 4. Исследование эффекта подавления искажений
4.1. Постановка задачи
4.2. Исследование эффекта подавления стационарных искажений
4.3. Исследование эффекта подавления искажений, задаваемых бегущими волнами
Заключение
Приложение А. Программный комплекс
А.1. Модуль графического интерфейса
А.2. Модуль численного моделирования задачи в кольце
А.З. Модуль численного моделирования задачи в круге
А.4. Модуль расчета зон устойчивости
А.5. Модуль численного решения двухмодовой задачи
А.6. Модуль визуализации
Литература
Введение
В последние несколько десятилетий большое внимание исследователей привлекают математические модели систем, демонстрирующих богатую пространственно-временную динамику — движущиеся фронты, вращающиеся волны, спирали, центры, спайки, хаос и др. Для приложений, возникающих в физике, химии, биологии и др. областях, важно, чтобы обладающая богатой динамикой самоорганизующаяся система содержала в своей конфигурации достаточно эффективные средства управления этой динамикой. В этой связи возможности моделей нелинейной оптики наиболее широко проявляют свои преимущества, позволяя варьировать управляющие параметры и наблюдать в эксперименте широкий спектр явлений самоорганизации светового поля, подчиняющихся общим качественным закономерностям. Классическим примером такого рода моделей является оптическая система, состоящая из тонкого слоя нелинейной среды керровского типа и контура обратной связи. Приведем две наиболее характерных и простых в экспериментальной реализации схемы организации обратной связи в оптических системах.
На рисунке 1 изображен современный вариант оптической системы с телевизионной обратной связью, которая функционирует следующим образом [11]. Рассеянное некоторым объектом О световое поле Л(гф), проходя через полупрозрачное зеркало, поступает на вход оптической системы, примером которой может быть система пространственной фильтрации или оптический процессор. После этого часть выходного излучения покидает оптическую систему, а оставшаяся часть А{г, Ь) направляется в контур обратной связи, где оптическое изображение преобразуется в телевизионный сигнал с помощью телекамеры, связанной с компьютером. После обработки на компьютере поступивший сигнал через цифроаналоговый преобразователь (ЦАП) выводится на телемонитор, оптическое изображение с которого попадает на вход системы, где складывается с входным сигналом.

F(v,fi) =K(p)j[cos{W(p) + Rg+nrv}-

— cos W (fi) + sin W {p)Re+o,T v].
Для операторов L(p)v и F(v, у) верно аналогичное лемме 2 утверждение об их аналитичности в окрестности (0, 0) из Н2 хКв Н, и справедливы аналогичные разложения.
2.2. Свойства линеаризованного оператора в круге
При исследовании краевой задачи (2.6), (2.8) ключевую роль играет оператор Bq:

Bqv = DAv - V + П— + mwRo+nT у, (2.12)

рассматриваемый как замкнутый неограниченный оператор в Н с плотной в Н областью определения D(Bq) = Н. Сопряженным к оператору Вп в Н является оператор
I Л л
В*пи = DAu - и - П— - Kj sin WR-e-пт Щ D{B*n) = Н%.
Свойства операторов Bq и Bq, сформулированные в виде лемм 6-8 устанавливаются непосредственной проверкой.
Лемма 6. Операторы Bq и Bq имеют полную ортоиормированную в
1 ( г
Н систему собственных функций _: Jn I уРп— exp {imp}, п 6 Z, р 6 N.
v 2тгd-ц Го J
Здесь Jn — функция Бесселя первого рода, рфг — р-ый ноль производной п-ой
функции Бесселя,

Соответствующие собственные значения имеют вид
= —D (^~^j ~~ 1 + ~ ^7sin^exp{m(0 + ОТ)},

Xu(Bq) = ~D[^ I - 1-iOn-Kjsin Wexp{-in(e +ПТ)}.