Выбор стратегий терапии в математических моделях взаимодействия лекарства с клетками и вирусами

• Автор: Коваленко, Светлана Юрьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 с. : ил.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ
Обзор результатов по математическому моделированию злокачественных клеток и вирусов
Глава 1. Оценка эффективности терапии в математической модели глиомы
1.1 Распределенная математическая модель
1.2 Предварительные сведения
1.3 Нижняя оценка критерия оптимальности терапии
1.4 Верхняя оценка критерия оптимальности терапии
1.5 Результаты моделирования
1.6 Пакет программ
Глава 2. Задача выживаемости в распределенной математической модели
терапии глиомы
2.1 Математическая модель. Постановка задачи
2.2 Нижняя оценка количества здоровых клеток
2.3 Устойчивость пространственно однородного положения равновесия
2.4 Свойство инерции
2.5 Численное исследование динамики сосредоточенной модели
2.6 Простые оптимальные стратегии управления в распределенной системе
2.7 Пакет программ
Глава 3. Гладкое решение уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана в математической модели оптимальной терапии вирусных инфекций
3.1 Постановка задачи
3.2 Псекдорешения уравнения ГЯБ
3.3 Анализ поведения траекторий системы. Сингулярные характеристики. Особое управление
3.4 Проверка гладкой склейки функции цены
3.5 Пакет программ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность
Несмотря на большие достижения современной медицины, проблема выбора стратегий лечения раковых заболеваний остаётся одной из важнейших проблем медицины. Если математическим моделям роста раковых клеток и процесса размножения вирусов посвящено громадное число работ, то вопросам терапии злокачественных клеток и вирусов посвящено сравнительно небольшое число исследований. Это объясняется сложностью задачи выбора оптимальной стратегии терапии, которая формулируется в виде многомерной нелинейной задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями. Всё это делает изучение математических моделей терапии вирусов и клеток актуальной задачей математического моделирования.
Цель работы
В диссертации изучаются математические модели, описывающие взаимодействие лекарственных средств с клетками и вирусами с целью поиска оптимальных стратегий терапии (лечения). Под стратегией терапии понимаются режим и доза принимаемого лекарства. Лекарственное средство, уничтожая больные клетки, подвергает также уничтожению здоровые клетки. Возникает задача о выборе оптимальной стратегии терапии, при которой количество больных и здоровых клеток находилось бы на уровне, приемлемом для жизнедеятельности пациента в течение максимального времени. Кроме того, в силу токсичности, на суммарное количество используемого лекарственного средства накладывается ограничение. В итоге, поставленная задача представляет задачу оптимального управления с фазовыми ограничениями.
Методы исследования
В работе применяются методы исследования автономных динамических систем, оптимального управления и задач математической физики наряду с методами функционального анализа и численного моделирования.

найти функцию и(£) 6 Ь0о, удовлетворяющую ограничению 0 ^ и{1,) ^ д таких, что

I 1к(х, Ь)(1х сИ ^ <Зо

при которой функционал задачи
Ф(и,Т) = /1пф,Т)*;=МГ) (1.6)

достигал бы своей нижней грани.
Здесь Т — заданный фиксированный момент времени.
Нелинейность функций развития и диффузии в модели не позволяет решать задачу способами, разработанными для распределённых задач оптимального управления ([8]). Использование численного аналога таких методов, как построение функции Гамильтона-Якоби-Беллмана, применение принципа максимума Понтрягина, метода моментов, метода множителей Лагранжа сопряжено с вычислительными и алгоритмическими трудностями. Несмотря на значительный прогресс, который совершила математическая наука в решении оптимизационных задач, поиск оптимальных стратегий для нелинейных уравнений параболического типа остаётся трудно разрешимой задачей. Не всегда удаётся найти такую фукнцию управления (функцию ввода лекарства), при которой функционал оптимальности (критерий качества лечения) будет принимать минимальные значения.
Идея данной работы заключается в том, чтобы оценить функционал (1.6) снизу, то есть найти такую функцию от времени, которая была бы максимально близкой к функции критерия качества от времени и приближалась бы к ней снизу (то есть, получить оценку снизу для критерия качества). Оценкой сверху будет значение функционала при любом неоптимальном управлении, так как любая другая стратегия лечения будет давать для каждого момента времени значение критерия качества большее, чем оптимальное. То есть, за-