Исследование классических и квантовых моделей магнетиков методами Монте-Карло

• Автор: Магомедов, Магомед Алиевич
• Шифр специальности: 01.04.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 152 с. : ил.

ГЛАВА I. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО.
§ 1.1. Классический метод Монте-Карло
§ 1.2. Модели, используемые при исследованиях методом
Монте-Карло
§ 1.3. Стандартный алгоритм метода Монте-Карло
§ 1.4. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло
§ 1.5. Граничные условия
§ 1.6. Анализ ошибок в методе Монте-Карло
ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИЧЕСКИХ КРИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МОДЕЛЕЙ РЕАЛЬНОГО МАГНЕТИКА Ссі.
§ 2.1. Гадолиний и его статические критические свойства.
Данные лабораторных экспериментов
§ 2.2. Микроскопические модели гадолиния
§ 2.3. Метод исследования
§ 2.4. Основные положения теории конечно - размерного
скейлинга
§ 2.5. Статические критические свойства моделей гадолиния. Результаты численного эксперимента
ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАНИЕ КВАНТОВЫХ СПИНОВЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ МОНТЕ-КАРЛО.
§ 3.1. Квантовый метод Монте-Карло
§ 3.2. Стандартный алгоритм квантового метода
Монте-Карло
§ 3.3. Блок-спин-кластерный алгоритм
§ 3.4. Петлевой (Loop) алгоритм
ГЛАВА IV. ИССЛЕДОВАНИЕ КВАНТОВОЙ XXZ-МОДЕЛИ СО СПИНОМ /і МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО.
§ 4.2. Исследование одномерной XXZ- модели квантовым
методом Монте-Карло
§ 4.3. Исследование двумерной XXZ - модели квантовым
методом Монте-Карло
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Количественное описание фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ) в различных решеточных системах до сих пор остается одной из наиболее трудных задач современной теории конденсированного состояния. В последние годы достигнут значительный прогресс в понимании коллективных явлений в твердотельных системах. В построении теории фазовых переходов наиболее продуктивными оказались методы ренормализационной группы и с- разложения [1-4], а также применение гипотезы подобия (скейлинг), основы которой были заложены в 60-х годах [9]. Это позволило глубже понять особенности поведения термодинамических систем непосредственно в критической области, выявить многие общие принципы фазовых переходов, построить уравнения состояния, рассчитать значения критических индексов для многих решеточных систем и установить связь между ними.
Существенный вклад в строгую количественную теорию кооперативных явлений в решеточных системах внесли также методы высоко- и низкотемпературных разложений [6]. Было установлено, что критические индексы не зависят от величины спина (а если и зависят то настолько слабо, что этой зависимостью даже в хорошем приближении можно пренебречь [7]) и деталей микроскопического гамильтониана. Но сильно зависят от размерности с/ рассматриваемой системы и числа степенной свободы параметра порядка п. Эти закономерности позволили сформулировать гипотезу универсальности для статических критических явлений. В наиболее общем виде принцип универсальности может быть сформулирован следующим образом.
Критическое поведение системы зависит от:
1. размерности пространства (решетки),

если глЛ5/>> 1, тогда
((^)2)«2^-[(^2}-{Л)2]. (1.35)

Из этой формулы следует, что статистическая погрешность не зависит от выбора временного интервала £/, а зависит только от величины п = :д//(2гл). За фиксированное время выбор меньшего значения 51 приводит к большому числу наблюдений, но не приводит к уменьшению статистической погрешности. Для уменьшения погрешности существенно лишь отношение времени релаксации гл к времени наблюдения за системой Гд/.
Таким образом, оценка времени релаксации необходима для правильной оценки величины статистических ошибок. Из этих же соображений становится очевидным необходимость разработки алгоритмов, которые уменьшают критическое замедление около точки фазовых переходов или, при возможности, даже удаляют его полностью. Обычно, <5А> не равно значению (<Л2> - <Л>2) /М, полученному для простой выборки, а отличается от него на множитель (1 +2тл/5(). Этот множитель обуславливает «статистическую неэффективность» метода.
Очевидно, что самый простой способ уменьшить статистическую погрешность, это увеличить число независимых (некоррелированных) испытаний. Но очень часто идти по этому пути невозможно из-за ограниченности вычислительных мощностей современных компьютеров. Другой способ воспользоваться зависимостью погрешности от размеров моделируемой системы: если при увеличении размеров системы
погрешность уменьшается достаточно быстро, то, возможно, имеет смысл исследовать систему с большими размерами, но с меньшей статистикой. С конечными размерами моделируемых систем связаны также и систематические ошибки метода Монте-Карло. Отметим также, что