Статистические свойства квазимультифрактальных случайных процессов

• Автор: Филимонов, Владимир Александрович
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 158 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Мультифрактальные случайные процессы — описание и модели
1.1. Мультифрактальный формализм
1.2. Теория мультифрактальных случайных процессов
1.3. Мультифрактальное случайное блуждание
1.4. Выводы
Глава 2. Диффузионный квазимультифрактальный случайный процесс. Аналитико-численное описание
2.1. Определение диффузионного квазимультифрактального процесса
2.2. Диффузионные свойства квазимультифрактального процесса
2.3. Определение высших моментов приращений
2.4. Эффективные масштабные показатели
2.5. «Сокращенная» формула для вычисления локальных показателей
2.6. Результаты численных расчетов. Инерционный интервал и
квазимультифрактальные спектры
2.7. Коэффициент перемежаемости и универсальный вид квазимультифрактального спектра
2.8. Выводы
Глава 3. Численное моделирование диффузионного квазимультифрактального случайного процесса
3.1. Дискретная модель диффузионного квазимультифрактального процесса

3.2. Некоторые аспекты численного моделирования
3.3. Результаты численного моделирования реализаций
3.4. Функции распределения приращений квазимультифракталь-
ного процесса
3.5. Оценка кавзимультифрактальных спектров процесса по полученным реализациям
3.6. Выводы
Глава 4. Расширения квазимультифрактальной модели
4.1. Дробный квазимультифрактальный процесс
4.2. Самовозбуждающийся мультифрактальный процесс
4.3. Выводы
Заключение
Литература
Список публикаций по теме диссертации

Введение
Теория мулыпифрактальных случайных процессов появившаяся в результате переосмысления и обобщения каскадных моделей, впервые описанных в работах Л. Ричардсона [1] и получивших широкое распространение благодаря феноменологическим теориям турбулентности А. Колмогорова К41 [2-5] и К62 [6], в настоящее время нашла широкое применение в различных областях науки. Основное развитие данная область теории случайных процессов получила в рамках гидродинамики, где она применяется для описания свойств самоподобия мелкомасштабной турбулентности [7-14]. Не менее важной областью применения мультифрактальных процессов является теория финансовых рынков, где фрактальные и муль-тифрактальные процессы с успехом используются для моделирования стохастических процессов котировок ценных бумаг [15-22]. В последние годы большой интерес к мультифрактальным моделям был проявлен также в геофизике, где мультифрактальные процессы используются для описания и анализа последовательностей землетрясений и порожденных ими «афтершоков» [23-25]. В статистической теории колебаний мультифрактальные свойства были обнаружены, у распределений времен возврата [26], что позволило применить мультифрактальный анализ для диагностики синхронизации хаоса в динамике взаимодействующих автоколебательных систем. Кроме того явные мультифрактальные свойства были обнаружены в некоторых режимах стохастического резонанса [27, 28] и динамики связанных хаотических систем [29]. После работ П. Иванова и др. [30-32], экспериментально показавших, что мультифрактальные спектры сердечного ритма человека могут служить для диагностирования паталогий, теория мультифрактальных процессов вызвала интерес также и в биологии (см., например, работу [33] и ссылки в ней). Потенциальным приложением теории масштабно-инвариантных процессов является также теория теле-

Для четных значений 1+1 /+

М2т{Т) = | *1 А* ... | Л2т <£(9) - - - £(Г2т> ((',)+'"+))
/ г »
Учитывая гауссовость дельта-коррелированного процесса £(0 с корреляционной функцией (2.5), получим:
1+1 1+1 /+
М2т(/) = (2т-!)!!£>?

4(£2(?1 , /2, . , ?ш))
(2.13)
Как и в случае вычисления дисперсии, под знаком усреднения находится лог-нормальный процесс
0(/Ь /2, ., /,„) = е21)+2(/2)+.-+2Ы(Гт)_
Среднее показателя экспоненты тривиально:
2 (<ц(£ |) + ш(£2) + + сот)) = 0, а дисперсия имеет вид

4 ((аКД) + <т>(/2) + + о»(?т))2) = 4/и (ш2(/)) + 4 (со(Ц)со()}
У=1-М
Дисперсия процесса ш(г) была найдена ранее (2.7), а функция корреляции равна:

(ш(Ц)са(ф) = /)2 А(С)/г(С + |/г- - фМ. (2.14)

Используя аппарат характеристических функций, легко найти среднее логнормального процесса £ДД, £2
<П(/ь ?2, , и)) = Р[ ехр
/=1 7=1+1

р||2
/г(у)Ыу + |/г- — /7|)гЙ