Нелинейные волны и локализованные структуры в реакционно-диффузионных системах со сложно-пороговыми свойствами

• Автор: Дмитричев, Алексей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 144 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Динамика модели ФитцХью-Нагумо с нелинейным восстановлением
1.1 Бифуркационный анализ модели
1.1.1 Поглощающая область
1.1.2 Состояния равновесия
1.1.3 Функция Ляпунова
1.1.4 Гомоклинические орбиты
1.2 Бифуркационные диаграммы и основные динамические режимы
1.3 Динамические режимы с мультипороговыми свойствами
1.4 Выводы
2 Динамика одномерной двухкомпонентной реакционнодиффузионной системы со сложно-пороговыми свойствами
2.1 Система для бегущих волн
2.1.1 Состояния равновесия системы для бегущих волн и
их локальные бифуркации
2.1.2 Поверхности без контакта
2.1.3 Динамика системы для бегущих волн при с
2.2 Гетероклинические траектории
2.2.1 Системы сравнения
2.2.2 Функция расщепления

2.3 Гетероклинический контур и нетривиальное
пространственно-временное поведение системы
2.3.1 Механизм отражения волновых фронтов
2.4 Мультипороговое возбуждение и нетривиальное
пространственно-временное поведение системы
2.4.1 Механизм отражения бегущих импульсов возбуждения
2.5 Выводы
3 Динамика двумерной двухкомпонентной реакционнодиффузионной системы со сложно-пороговыми свойствами
3.1 Базовые динамические свойства реакционнодиффузионной системы
3.1.1 Динамика локального элемента
3.1.2 Устойчивость пространственно-однородных состояний равновесия
3.2 Регулярные (стационарные) локализованные структуры
3.2.1 Области существования и мультистабилыюсть регулярных структур
3.2.2 Робастность регулярных структур
3.2.3 Динамические механизмы формирования и устойчивости регулярных структур
3.2.4 Взаимодействие регулярные структур
3.3 Полиморфные (нестационарные) локализованные структуры
3.3.1 Типы полиморфных структур и их основные свойства
3.3.2 “Диссипативный” перезапуск полиморфных структур
3.3.3 Бифуркации полиморфных структур
3.4 Выводы
Заключение
Литература
Введение
Интерес к исследованию процессов в неравновесных пространственно-распределенных системах, наблюдающийся уже в течение достаточно длительного времени, не только не ослабевает, но и в последние годы усиливается, что свидетельствует о фундаментальном характере и актуальности этой проблемы. Одним из наиболее ярких и удивительных явлений, наблюдаемых в широком классе неравновесных систем, является формирование разнообразных пространственно-временных структур и, в частности, нелинейных волн и локализованных структур. Различные типы таких состояний экспериментально обнаружены, например, в гидродинамических системах [1-3], в газоразрядных [4-6], полупроводниковых [7-9] и оптических системах [10-12], в гранулированных материалах [2,13], в астрофизических [14] и квантовых системах [15], в некоторых химических системах [16-24], в нейронных системах [25-30], в сердечной ткани [31], в колониях микроорганизмов [32] и др. На рис. 1 приведено несколько примеров локализованных структур экспериментально обнаруженных в очень разнообразных по своей природе системах в физике, химии и биологии. Выявление закономерностей формирования и эволюции локализованных структур и нелинейных волн, таким образом, составляет одну из фундаментальных проблем радиофизики.
Важный класс неравновесных систем, обладающих разнообразием формируемых пространственно-локализованных и волновых структур, образуют так называемые реакционно-диффузионные системы. Общепринятое название систем “реакция-диффузия” пришло из химии и является отражением двух основных процессов, происходящих в таких системах, фактически определяющих их пространственно-временное поведение, - взаимодействия между локальными компонентами систем (реакций) и про-

По аналогии с вышеизложенными рассуждениями, можно показать существование еще ОДНОЙ (последней) гомоклинической орбиты седла О2 -Г2д, образованной соответственно сепаратрисами И7! и ТУ“. Здесь на этом останавливаться не будем, а лишь отметим, что для существования орбиты Ггд, кроме выполнения условия Д2 П Д4 0, достаточного для существования Г 1э25 нужно еще, чтобы Д2 Д4. Данным условиям, например, удовлетворяет случай показанный на рис. 1.7 (б).
Завершая раздел, отметим, что установленные здесь условия существования гомоклинических орбит Г|2 и Г2Д, является достаточно строгими. На основе численного анализа системы (1.4), результаты которого приведены в следующем разделе, было установлено, что для существования гомоклинических орбит Г12 и Г2Д необходимо и достаточно, лишь чтобы параметры а и /3 удовлетворяли соответственно неравенствам

4 4 а
1.2 Бифуркационные диаграммы и основные динамические режимы
На рисунках 1.8 (а),(б),(в) представлены бифуркационные диаграммы системы (1.1) в плоскости параметров (е,1), построенные численно для трех различных соотношений параметров а и (3: (а) а = 0.5, /3 = 2.0, (б) а = 0.8, /3 = 0.9 и (в) а = 0.8,/3 = 1.1258. На рисунках 1.9 и 1.10 приведены качественные фазовые портреты режимов, существующих соответственно в областях 1 — 15. Отметим, что приведенные здесь диаграммы дают полное представление о возможных бифуркациях системы (1.1), а режимы в областях 1 — 15, 3' — 6' и 8' — 10' составляют полный спектр ее возможных динамических режимов.
Заметим, что режимы существующие в областях 3' — 6' и 8' — 10' являются зеркальными эквивалентами режимов вЗ — 6и8 —10 соответственно,