Комплексная аналитическая динамика в приложении к радиофизическим системам

• Автор: Исаева, Ольга Борисовна
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 160 с. : ил

Оглавление
Введение
1 Комплексные отображения и ассоциирующиеся с ними фрактальные объекты. Множество Мандельброта и множества Жюлиа (Обзор)
1.1 Одномерные комплексные аналитические отображения как специальный
класс динамических систем. Их связь с двумерными действительными отображениями. Условия Коши-Римана
1.2 Множество Мандельброта и множества Фату и Жюлиа как феномены
комплексной аналитической динамики
1.3 Бифуркационный анализ множества Мандельброта
1.4 Классификация множеств Жюлиа. Диски Зигеля, кольца Эрмана, цветок
JIo-Фату
1.5 Основные свойства и методы построения множеств Жюлиа
1.6 Потенциал множества Жюлиа и множества Мандельброта
1.7 Хаусдорфова размерность фрактальных объектов, возникающих ь комплексной аналитической динамике
1.8 Обобщения комплексных чисел
1.9 Различные приложения комплексной аналитической динамики. Построение моделей реальных физических систем
1.9.1 Возникновение множества Мандельброта при исследовании динамики движения частицы в магнитном поле
1.9.2 Теория фазовых переходов
1.9.3 Теория перколяции
1.9.4 Динамика иерархических цепочек импедансов
1.9.5 Агрегация фрактальных кластеров
1.9.6 Проблема сходимости метода Ньютона (задача Кэли)
1.9.7 Аналогия с гамильтоновыми системами
1.9.8 Квантовое туннелирование в хаотической системе
2 Использование связанных отображений и систем с периодическим воздействием для реализации феноменов комплексной аналитической динамики
2.1 Введение
2.2 Система связанных логистических отображений

2.3 Универсальность метода представления комплексных отображений в виде связанных действительных систем
2.4 Реализация множества Мандельброта в физическом эксперименте
2.4.1 Экспериментальная установка
2.4.2 Результаты эксперимента
2.5 Связанные отображения Эно
2.6 Система связанных нелинейных осцилляторов с гармоническим внешним воздействием
2.7 Связь феноменов комплексной аналитической динамики с проблемой разрушения синхронизации
2.8 Выводы
3 О возможности реализации феноменов комплексной аналитической динамики в связанных автономных потоковых системах — осцилляторах Ресслера
3.1 Введение
3.2 Усеченная система связанных осцилляторов Ресслера
3.3 Связанные осцилляторы Ресслера с общим уравнением для фазы
3.4 Связанные осцилляторы Ресслера с дополнительной связью, синхронизующей фазы
3.5 Система связанных осцилляторов Ресслера с различными переменными времени
3.6 Выводы
4 О свойствах скейлинга в динамике двумерных отображений вблизи особых точек, характерных для комплексной аналитической динамики
4.1 Введение
4.2 РГ анализ
4.3 Модельное отображение и локальные скейлинговые координаты вблизи точки СвК
4.4 Скейлинговые свойства расширенного пространства параметров вблизи
критической точки
4.5 Существование точки вБК для неаналитического отображения Гунаратне
4.6 Точка СБК для комплексифицированного отображения Эно
4.7 Процедура получения скейлинговых координат
4.8 Процедура численного нахождения критической точки

4.9 Возможность наблюдения каскада утроений периода в системах специального вида и в физическом эксперименте
4.10 Выводы
5 Моделирование процесса автоэлектронной эмиссии в цилиндрическом диоде с фрактальной поверхностью внутреннего проводника, опреде-
ляющегося множеством Жюлиа
5.1 Введение
5.2 Методика численного моделирования процесса автоэлектронной эмиссии
с фрактальной поверхности
5.3 Расчет вольтамперных характеристик
5.4 Расчет эффективной площади эмиссии
5.5 Влияние фрактальной размерности на характеристики автоэлектронной
эмиссии
5.6 Выводы
Заключение
Литература

любых аналитических рациональных отображений [85-87]). Согласно [49], хаусдорфо-ва размерность гиперболических множеств Жюлиа Dg > 1 (некоторые обобщения на неаналитический случай см. в [88]). Внутри лепестков “кактуса Мандельброта” размерность Dg множеств Жюлиа является непрерывной функцией параметра (по крайней мере, для действительных значений параметра это подтверждено численно) [86,89,90] (см. также [91,92]). Предположительно, в некоторых точках бифуркационных линий могут происходить разрывы Dg. Показано, однако, что в параболических точках (точках, связывающих между собой лепестки “кактуса Мандельброта”) Dg непрерывна [89], а в точках, для которых реализуются диски Зигеля Dg < 2 [93]. Размерность границ дисков Зигеля, соответствующих “золотому сечению”, для некоторого семейства полиномиальных отображений, согласно [61,62], не превышает 1.08523. В работе [90] подробно изучено поведение размерности Хаусдорфа. как функции параметра, для отображения z' = z2 + с, вблизи точки сборки большой кардиоиды. Показано, что производная этой функции при приближении параметра к 1/4 стремится к бесконечности как £>я(1/4 + 0) S (1/4 - с)Оя(1/4)-з/2) а
в точке 1/4 — 0 эта функция непрерывна.
Кроме описанного выще метода возмущений для рассчета хаусдорфовой размерности, существует ряд других способов описания фрактальных свойств множества Жюлиа. Можно элементарно рассчитывать фрактальную размерность (5.17) методом покрытия прямоугольниками (“box-counting”) [94]. Еще одной характеристикой фрактальности является скорость убегания на бесконечность [49]. Для ее определения необходимо рассмотреть динамику большого числа JV0 начальных точек в некоторой области Г вблизи множества Жюлиа. При итерировании, количество точек не покинувших Г уменьшается по закону пп ~ q~n, где q есть параметр, характеризующий скорость убегания. Хаусдорфова размерность и скорость убегания являются независимыми друг от друга величинами. В отличии от размерности Dg, которая является чисто геометрической характеристикой [49,95], скорость убегания отражает и динамические свойства J. Кроме того, существует основанный на аналогии с термодинамикой метод рассчета фрактальных индексов [96-100].
Большинство фрактальных объектов, в том числе и возникающих в природе, не являются самоподобными (самоафинными) в строгом смысле. Их скейлинговые свойства не сводятся к простому афинному преобразованию, как например для кривой Коха. В связи с этим подобные фрактальные объекты характеризуются целым спектром скей-линговых характеристик. Это так называемые мультифракталы. К ним относятся и множества Мандельброта и Жюлиа. Для изучения таких фракталов вводятся обобщенные размерности Реньи (подробнее см. [5,58,59,78]). Алгоритм для численного расчета обобщенных размерностей Реньи множества Жюлиа был предложен в работе [97]. В