Байесов подход к реконструкции динамических систем по временным рядам и долгосрочный прогноз их качественного поведения

• Автор: Мольков, Ярослав Игоревич
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Построение детерминированных моделей по временным рядам
1.1. Реконструкция фазовых переменных.
1.2 Построение отображения на секущей Пуанкаре.
1.3. Байесов подход к реконструкции динамических систем.
1.4. Модификация Байесова подхода.
1.5. Параметризованная модель оператора эволюции.
1.6. Классификация режимов поведения известной ДС по коротким зашумленным ВР.
1.7. Прогноз качественного поведения по слабонестационарному ряду.
2. Фундаментальные проблемы детерминированного моделирования.
2.1. Оверимбеддинг
2.2. Диагностика оверимбеддинга
2.3. Следствия оверимбеддинга.
2.4. Выводы. От детерминированных к стохастическим моделям.
3. Построение стохастических моделей: описание подхода.
3.1. Байесов подход к реконструкции случайной динамической системы
3.2. Детерминированная и стохастическая компоненты случайного оператора эволюции
3.3. Модели детерминированной и стохастической компонент в виде искусственных нейронных сетей
3.4. Обобщение на случай слабонеавтономных динамических систем.
4. Построение стохастических моделей: приложения и примеры
4.1. Реконструкция СДС с неоднородным, негауссовым и
небелым динамическим шумом
4.2. Мерограммы
4.3. Прогноз в случае неоднородного и негауссова шума
4.4. Прогноз “из простого в сложное”
4.5. Стохастические модели детерминированных систем
4.5.1. Одномерная стохастическая модель отображения Эно
4.5.2. Стохастическая модель двух связанных систем Ресслера
5. Принцип минимальной длины описания при глобальной реконструкции динамических систем
5.0. Недостатки существующих методов определения
размерности вложения
5.1. Инвариантное определение минимальной дескриптивной длины
5.2. Использовние метода МДД для определения минимальной размерности вложения
Заключение. Основные результаты, выносимые на защиту
Список работ автора по теме диссертации
Литература

Введение
В диссертационной работе излагается последовательный подход к реконструкции динамических систем и долгосрочному прогнозу возможного изменения их качественного поведения, как одной из возможных целей такой реконструкции. Динамической системой (ДС) мы будем называть объект, состояние которого описывается точкой фазового пространства, или фазовыми переменными, и изменяется во времени по закону, задаваемому оператором эволюции. Под реконструкцией здесь понимается построение математической модели оператора эволюции (ОЭ) системы по временному ряду, представляющему собой результаты последовательных измерений некоторой физической величины, связанной с фазовыми переменными моделируемой системы. Измерения при этом производятся с конечной точностью. В работе рассматривается два вида ДС - детермини- -рованные и случайные или стохастические. Детерминированной называется такая ДС, будущие состояния которой однозначно определяются текущим, или по-другому начальными условиями. Под стохастической ДС понимается система, оператор эволюции которой в каждый момент времени является случайным. Физическим объектом, описываемым случайной-ДС, является система, испытывающая случайные воздействия в процессе эволюции, которые часто называют динамическим или интерактивным шумом.
Разработке методов реконструкции ДС по порожденным ими временным рядам посвящено в последние тридцать лет большое количество работ (см., например, [1-3] и цитируемую там литературу). Такой подход не требует наличия полной и детальной априорной информации о процессах, протекающих в системе, в том смысле, что не включает в себя процедуру построения моделей из первых принципов (уравнений движения среды или отдельных частиц, уравнений для силовых полей, переноса излучения, химической кинетики, тепло и массопереноса и пр.). Математическая модель ОЭ исследуемой ДС при этом строится путем прямого анализа на-

ветствуюгцих полученным значениям ц отображений, задаваемых функциями последования (1.17), для каждого момента времени «в будущем» генерировался ансамбль из 10000 временных рядов, по которому рассчитывались вероятности реализации того или иного динамического режима в различные моменты времени: в каждый момент времени считалось отношение числа реализаций данного режима к числу элементов ансамбля. Было установлено, что для данного ВР оптимальная с точки зрения соображений, изложенных в разделе 4, фигурирующая в (1.12) длина сегмента yv равняется 4. На нижней панели рис. 1.5. представлены зависимости вероятностей различных динамических режимов от времени, полученные по описанному выше ВР, сгенерированному системой (1.21). Сравнение построенного прогноза с «истинной» эволюцией системы позволяет заключить, что построенная модель корректно воспроизводит как наблюдаемое поведение системы, так и последовательность происходящих изменений в будущем. В частности, все бифуркации перехода от хаотического режима к 2-кратному предельному циклу надежно предсказываются. Однако, можно заметить, что вероятность наиболее отдаленного 1-периодического режима при 1>5000 достаточно низка, кроме того с некоторой вероятностью предсказываются ложные хаотический и 2-периодический режимы. Неопределенность прогноза в отдаленном будущем является результатом ошибки экстраполяции (1.20), которая при таком интервале прогноза становится существенной. В обратном направлении (в прошлом) успешно предсказано разрушение хаоса и возникновение 3-периодического режима, однако нам не удается уверенно спрогнозировать последующий каскад удвоений и переход к хаосу при К500. Эта неудача обусловлена принципиальной невозможностью прогноза усложнения поведения системы по сравнению с наблюдаемым режимом из-за недостаточности информации, содержащейся в исходном временном ряде (см. следующие главы).