Анализ нестационарности и выбор структуры уравнений при моделировании по временным рядам

• Автор: Диканев, Тарас Викторович
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 140 с. : ил.

1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ ЦЕЛЕЙ ГЛОБАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1Л.Введение
1.2.Методики оценки качества глобальных моделей при их реконструкции по различным участкам временного ряда
1.3.Примеры использования переходных процессов для улучшения качества глобальных моделей
1.3.1. Расширение области хорошей аппроксимации объекта моделью за счет использования переходного процесса (реконструкция уравнений неавтономного осциллятора Тода)
1.3.2. Потеря информации о структуре объекта при установлении движения (реконструкция дискретной многомодовой системы)
1.3.3. Улучшение качества аппроксимации при наличии «лишних» базисных функций (реконструкциая автономного осциллятора Ван-дер-Поля - Тода)
1 ^.Использование переходного процесса для оптимизации набора базисных функций
2. МОДИФИКАЦИЯ ПРОЦЕДУРЫ ВЫБОРА ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2.1.Введение
2.2.Процедура тестирования набора переменных на возможность построения глобальной динамической модели
2.3.Модификация процедуры, возможность использования для тестирования на нелинейность
2.4.Примеры приложения процедуры тестирования
3. ОПТИМИЗАЦИЯ НАБОРА БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ

3.1.Введение
3.2.Оценка чувствительности значений коэффициентов перед базисными функциями к изменениям распределения тренировочных точек в фазовом пространстве
3.3.Методика выбора базисных функций
3.4.Соотношение предложенного и ранее известного метода оптимизации
3.5.Тестовые примеры
4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕКОНСТРУКЦИИ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКОЙ СТАЦИОНАРНОСТИ ВРЕМЕННОГО РЯДА
4.1 .Введение
4.2.Методы анализа динамической нестационарности
4.3.Анализ нестационарности при скачкообразном изменении параметров объекта: тестовые примеры
4.4.Использование простых моделей для описания сложных систем
4.4.1. Общие положения
4.4.2. Статистические оценки, к которым приводит построение динамических моделей
4.4.3. Быстрый метод обнаружения изменений многомерных распределений по скалярному временному ряду с помощью «плохих» моделей
4.5.Приложение к анализу внутричерепной ЭЭГ человека во время эпилептического припадка
ПРИЛОЖЕНИЕ. МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОНОМНЫХ КОЛЕБАНИЙ АНТЕННОГО ЖГУТИКА МОСКИТОВ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Возможности современной вычислительной техники позволили развить новые подходы к созданию эмпирических динамических моделей колебательных явлений. Если раньше речь шла в основном об аппроксимации наблюдаемых в эксперименте простых зависимостей, то сейчас - о получении модельных дифференциальных или разностных уравнений, описывающих сложные или даже хаотические движения. Повсеместное использование в современной измерительной технике аналого-цифровых преобразователей и становление концепции динамического хаоса привели к тому, что, начиная с 80-х годов особое внимание стало уделяться реконструкции1 уравнений по хаотическим временным рядам [1-7] -дискретной последовательностям чисел, полученным стробированием наблюдаемых величин. Временные ряды могут быть векторными или скалярными; последнее еще более осложняет задачу. С помощью реконструкции решаются задачи прогнозирования дальнейшего поведения [1] и бифуркаций [8], классификации систем [9,10], скрытой передачи информации [11]. В диссертации проблема построения моделей по временному ряду рассматривается на примерах эталонных для радиофизики динамических систем, а также для некоторых сложных биологических сигналов, однако она актуальна и во многих других областях исследований. В частности для задач астрофизики [12], лазерной физики [13], метеорологии [14,15], сейсмографии [16] финансов [17,18] и т.д.
Пик интереса в задаче глобальной2 реконструкции уравнений по временному ряду приходится на девяностые годы, после чего появились и
1 Здесь используется общепринятый термин “реконструкция” (восстановление), хотя он полностью адекватен лишь ситуации, когда временной ряд получен путем численного решения уравнений. В приложении к реальным объектам и явлениям, для которых нет единственной или “истинной” математической модели, уместнее было бы говорить о “конструировании”, а не о “реконструкции”.
2 Термин «глобальная» означает, что модельные уравнения, записанные в замкнутой форме, описывают поведение объекта во всем фазовом пространстве (глобально).

Из (2.4) следует, что
^шах (^1) >
£шах№)
, значит
< 1. Откуда
наклон графика
(2.6)
Геометрический смысл величины -£Ггтах—2- - наклон прямой, проведенной из

начала координат в точку графика максимального разброса при 8 = 82. Неравенство (2.6) говорит, что график ■?тах( Приведенные выше рассуждения справедливы в случае, когда точек достаточно много, чтобы считать зависимость непрерывной. Рассмотрим теперь как дискретность набора точек, в которых известны значения у, повлияет на результат тестирования. Первым следствием является то, что при расчете максимального разброса между значениями тестируемой зависимости в точках, лежащих на расстоянии меньше какого-то 8, эти точки лежат друг от друга на расстоянии 8' <8 (рис. 2.8). Заметим, что при всех размерах окрестности в диапазоне [8', 8] значения максимального разброса окажутся одинаковыми (он считается между значениями в одной и той же паре точек). Имеет смысл наносить на график только точки гпих (