Теория волн, генерируемых при обтекании препятствий бозе-эйнштейновским конденсатом, и их оптические аналоги

• Автор: Гладуш, Юрий Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Троицк
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1 Волны обтекания в бозе-эйнштейновском конденсате
1.1 Основные уравнения
1.2 Обзор литературы и постановка задачи
1.3 “Корабельные волны” в бозе-эйнштейновском конденсате
1.4 Наклонные периодические нелинейные структуры
1.5 Заключение
2 Дифракция света на тонкой проволочке
2.1 Основные уравнения
2.2 Постановка задачи
2.3 Линейная дифракционная картина
2.4 Наклонные темные солитоны
2.5 Устойчивость наклоных темных солитонов
2.6 Заключение
3 Обтекание препятствия двухкомпонентным бозе-эйнштейновским конденсатом
3.1 Основные уравнения и постановка задачи
3.2 Линейные волны
3.3 Темные солитоны
3.4 Заключение
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Благодарности

Введение
Обтекание препятствий различными средами широко изучалось во многих областях физики. Если в среде существует внутренняя характерная скорость, то волновая картина, возникающая в данном случае, существенно зависит от того, выше или ниже скорость течения по отношению к этой характерной скорости. В газе таким параметром является скорость звука. Если скорость потока газа превышает скорость звука, то при обтекании тела возникает ударная волна. Электродинамическим аналогом этого явления может считаться излучение Вавилова-Черенкова. Когда заряженная частица движется сквозь диэлектрическую среду со скоростью, превышающей скорость света в данной среде, то под определенным углом к направлению движения частицы возникнет излучение. В теории квантовой жидкости процесс обтекания связан со свойством сверхтекучести. При превышении определенного значения скорости течения свойство сверхтекучести пропадает. Эксперименты последнего десятилетия по обтеканию бозе-эйнштейновским конденсатом (БЭК) препятствий инициировали ряд теоретических работ по данному вопросу. Однако, построение полной картины этого явления на сегодняшний день далеко от завершения. Настоящая работа посвящена определению структуры волн, возникающих в бозе-эйнштейновком конденсате при обтекании двумерным конденсатом препятствия, а также рассмотрению аналогов этого процесса в оптике.
После достижения бозе-эйнштейновской конденсации в парах щелочных металлов в 1995г. возникла новая область приложения физики нелинейных волн. История этой области физики восходит к Эйнштейну, который в 1924-25гг. опубликовал две статьи [1], где он обобщил работу Бозе о квантовой статистике фотонов на случай идеального газа атомов. В частности, во второй статье он предсказал новое явление — конденсацию атомов в наинизшем квантовом состоянии. Роль данного процесса в явлениях природы долгое время оставалась под вопросом. Были нопыт-

ки объяснения необычных свойств Не-П (впервые получен Вольфке и Кеезомом в 1928 году), в частности, сверхтекучести, открытой Капицей в 1938г. [2], как следствия бозе-конденсации атомов Не [3]. Но были и противники такого подхода. Ландау в своей знаменитой статье [4] о теории сверхтекучести гелия-П пишет:“Не говоря уже о том, что жидкий гелий не имеет ничего общего с идеальным газом, атомы, находящиеся в основном состоянии отнюдь не вели бы себя как “сверхтекучие”. Напротив, ничего не могло бы помешать атомам, находящимся в нормальном состоянии, сталкиваться с возбужденными атомами, т.е. при движении через жидкость они испытывали бы трение”1. Однако, Ландау показал, что элементарные возбуждения являются коллективным эффектом и не могут быть отождествлены с индивидуальными атомами. Этот подход использовал Боголюбов в своей работе 1947г. об элементарных возбуждениях в слабонеидеалыгом бозе-газе [5]. В его работе сделана попытка построить теорию сверхтекучести, исходя из “микроскопических” уравнений квантовой механики для бозе-частиц со слабым взаимодействием между частицами. Боголюбовым был найден энергетический спектр малых возбуждений для однородного слабонеидеалыюго бозе-газа.
В 1961г. независимо друг от друга Гроссом [6] и Питаевским [7] было получено уравнение, описывающее динамику слабонеидеального неоднородного бозе-газа при нулевой температуре. В этом случае надкон-денсатной составляющей можно пренебречь и волновая функция конденсата приобретает конкретный классический смысл: квадрат волновой функции есть число частиц в единице объема, а градиент фазы — скорость бозе-газа. Эта теория получила название теории среднего поля. Спектр элементарных возбуждений, вычисленный из линеаризованного уравнения Гросса-Питаевского, совпадает с боголюбовским спектром однородного бозе-газа. Кроме того, уравнение Гросса-Питаевского описывает нелинейные возбуждения в БЭК —- квантовые вихри, темные со-
1 Ландау разработал феменологиескую теорию данного процесса, качественно объяснившую экспериментальные данные

то есть эти вклады убывают с расстоянием г от препятствия как г
достаточно далеко от препятствия вкладом от мнимых полуосей в (1.45) можно пренебречь. Таким образом, волновая структура возникает лишь в области, где соз(х + г/) <0, то есть когда угол д между векторами г и к острый. Соответствующий вклад обусловлен полюсом (1.46) и равен
где к определяется по формуле (1.44) (с опущенным индексом “О”).
Перейдем к интегрированию по ту. Вдали от препятствия при больших значениях фазы кг = те, где
интеграл (1.48) может быть вычислен методом стационарной фазы [58]. Этот метод предполагает, что если в подынтегральном выражении есть быстро осциллирующий множитель, то медленно меняющийся множитель можно вынести за знак интеграла, а наибольший вклад в интеграл дается в окрестностях точки, в которой первая производная от фазы в обращается в нуль. При этом пределы интегрирования можно расширить на всю действительную ось.
Раскладывая фазу в степенной ряд по ту, получаем
ехр(—іг5)гі?7 = / ехр(-іг(в(%) + —(ту - щ)2))<1г}, (1.50)
мы убедимся ниже, вклад полюса убывает с радиусом как г 1//2, так что
(1.48)
з(г?) = /с (ту) соз(х + ч),
(1.49)
7г/2 рас
где учтено, ЧТО б1' = 0. С учетом формулы е :''2(1х = л/тг, последний интеграл равен
(1.51)