Суперполевые расширения уравнения Лиувилля

• Автор: Кривонос, Сергей Олегович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 110 c. : ил

ГЛАВА I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРШ И МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ: ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§1. Метод обратной задачи рассеяния
§2. Нелинейные реализации и формы Каргана
§3. Обратный эффект Хиггса
ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ КОНФОРМНОЙ ГРУППЫ ДВУМЕРНОГО ПРОСТРАНС1ВА-ВРЕЛЕНИ И /V =0 УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ
§1. Структура конформной группы двумерного
пространства-времени
§2. Нелинейная реализация конформной группы
§3. Линейная задача и общее решение А
уравнения Лиувилля
§4. Комплексное уравнение Лиувилля
ГЛАВА 3. СУПЕРСИММЕТРИИ ДВУМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ И /V =1 УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ
§1. Суперрасширения конформной группы
§2. Структура безмассовых супермультиплетов
§з. Ы =1 уравнение Лиувилля
ГЛАВА 4. А/ =2 УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ
§1. Нелинейная реализация конформной А/ =2, Л
супергруппы и А/ =2 уравнение Лиувилля
§2. Анализ компонентного состава А/ =2 уравнения
Лиувилля и линейная задача
§3. Общее решение А/ =2 уравнения Лиувилля
ГЛАВА 5. А/ =4 УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ
§1. Конформная А/ =4, сС =2 супергруппа, ее нелинейная
реализация и А/ =4 уравнение Лиувилля
§2. Анализ /V=4 уравнения Лиувилля в компонентах
§3. Трансформационные свойства
§4. Линейная задача для А/ = 4 уравнения Лиувилля

ГЛАВА 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ СУЛЕРРАСШИРЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ
§1. Общий метод построения преобразований
Бэклунда: А/ =0 уравнение Лиувилля
§2. Преобразования Бэклунда для А/ -1, А/ -2 и
А/ =4 уравнений Лиувилля
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ I. САМО СОГЛАСОВАННОСТЬ УСЛОВИЙ КОВАРИАНТНОЙ
РЕДУКЦИИ
ПРИЛОЖЕНИЕ П. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
БЭКЛУНДА
ЛИТЕРАТУРА

I. Вплоть до начала семидесятых годов чиоло точно решаемых физически важных задач было очень невелико. Это связано с тем, что подавляющая часть уравнений движения систем по своей природе существенно нелинейны, а математический аппарат для решения таких уравнений, по сути дела, включал в себя только теорию возмущений. Ситуация коренным образом изменилась, когда в 1967 году Гарднером, Крускалом и Миурой было показано/1/, что для уравнения Кортевега-де-Фриза существует аналитический метод решения задачи Коши. Дальнейшее развитие этого метода, названного методом обратной задачи рас сеяния, началось с работы Лакса/2/ в которой был выявлен алгебраический механизм, лежащий в основе процедуры, а затем в работах Гарднера/3/, Фаддеева и Захарова/4/ была построена теория уравнения Коргевега-де-Фриза, как гамильтоновой системы. В дальнейшем был обнаружен целый ряд важных нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, и развит соответствующий математический аппарат для их решения (см..например,/5/). Существенный прогресс в понимании теоретико-групповых аспектов метода обратной задачи был достигнут в работах Савельева и Лезнова/6/, показавших , что вложения (минимальные и неминимальные) подгруппы £1/(2,)в произвольную группу О тесно связаны с интегрируемыми нелинейными системами (обобщенными цепочками Тодда). Для систем уравнений, соответствующих таким вложениям, были построены представления типа Лакса и сформулирована методика нахождения общего решения/6/.
Среди нелинейных уравнений уравнение Лиувилля

= тГ е
^ а + -= ЪхГ ^ ’ Х± = 0С'О*л'Ч> = содТ*')
занимает несколько выделенное место. Во-первых, как было показано Лиувиллем (см., например/7/) оно имеет общее решение, завися-

Прежде чем переходить к построению минимальных супермульги-плетов, содержащих дилатон ися) , сделаем два существенных замечания.
Во-первых, поскольку мы хотим построить суперрасширения уравнения Лиувилля, то аналогично ситуации §2 Главы 2, линейно и однородно по полям и координатам будет реализована только подгруппа конформной группы - группа Пуанкаре и, соответственно, ее суперрасширения для суперконформных групп, рассмотренных в §1 данной главы. Поэтому достаточно изучить структуру супермулъти-плетов соответствующих плоских суперсимметрий. Во-вторых, нам будет достаточно исследовать безмассовые представления расширенных супергрупп плоской суперсимметрии, поскольку именно такие супер-мультиплеты появляются в суперрасширениях УЛ. (Как показано в работах^55’56/ размерный параметр, присутствующий в УЛ связан не с возникновением массивных состояний в теории, а со спонтанным нарушением Пуанкаре-симметрии, т.е. отсутствием Пуанкаре-инвари-антных решений уравнений движения. Аналогичная ситуация возникает и при рассмотрении суперрасширений УЛ).
Начнем с рассмотрения представлений плоской д/ =1 суперсимметрии:
Построение будем производить, исходя из безмассовых представлений группы Пуанкаре двумерия55):

I I и, р±] = ± Р±
Ь I О, = ± Л
К') , - - 2 р±
(3.15)
лг N
' На равных основаниях можно использовать следующие представления группы Пуанкаре: и|А>= М*> ; Р+1>>> - о .