Разработка общей теории больших и малых упругих перемещений в плоских стержневых системах

• Автор: Анфилофьев, Александр Васильевич
• Шифр специальности: 01.02.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 259 с. : ил

Оглавление
Введение
Глава 1. Анализ состояния проблемы эластики
§1.1. Современные представления о геометрической линейности и нелинейности стержневых систем
§ 1.2. Современные представления о задаче эластики
§1.3. Интерпретации решения "задачи Эйлера" продольного изгиба стержня
§ 1.4. К вопросу определения "выпучивающей" нагрузки
§ 1.5. Экспериментальные определения "выпучивающей" нагрузки
Задачи исследования
Глава 2. Разработка математического обеспечении задач эластики § 2.1. Геометрия деформирования шарнирно-стержневых систем с узловой
нагрузкой
§ 2.2. Оценка приближённого выражения кривизны плоской линии в теории
"малых" перемещений
§ 2.3. Новое решение задачи Эйлера
§ 2.4. Геометрическая нелинейность изгибаемых стержней
§ 2.5. Новые формулы кривизны плоской линии
§ 2.6. Нормальные эллиптические интегралы как коэффициенты преобразований
при отображении д^ги окружности на наклонные плоскосш
§ 2.7. Интегральные выражения в задачах эластики и их вычисление,.,
§ 2.8. Программы вычисления интегралов и их тестирование
§ 2.9. Определение кривых линий разной степени крйЯйзны
Г лава 3. Разработка вопросов приближённого определения эластики изгибаемых стержней
§3.1. Спектр приближённых выражений кривизны плоской линии
§ 3.2. Упрощающие допущения как корректирующие функции
§ 3.3. Приближённое определение интегралов
§ 3.4. Основные геометрические параметры стержня в продольном изгибе

§ 3.5. Установление функциональных элементарных связей между нагрузкой и основными параметрами геометрии стержня в продольном изгибе
Глава 4. Общая теория эластики плоского изгиба стержней
§ 4.1. Теории "малых" и "больших" искривлений стержня
§ 4.2. Эластика продольного изгиба стержня как совокупность разновидностей
изгиба стержней
§4.3.0 знаках кривизны упругой кривой и изгибающих моментов
§ 4.4. Выбор координатных осей и выражений кривизны
§ 4.5. Изгиб стержня нагрузкой заданного направления
§ 4.6. Определение параметров эластики малых искривлений стержня
§ 4.7. Изгиб стержня "следящей" нагрузкой
§ 4.8. Внецентренное сжатие
§ 4.9. Геометрические представления линий разной степени кривизны
§ 4.10. Сравнение синусоиды с упругой кривой продольного изгиба
Глава 5. Энергия упругого изгиба стержней
§5.1. Оценка влияния продольных и поперечных сил на кривизну линии
§ 5.2. Определение энергии внутренних сил
§ 5.3. Потенциальная энергия стержня в продольном изгибе
§ 5.4. Определение "выпучивающей" нагрузки
§ 5.5. "Характерное" перемещение в плоском изгибе стержня
§ 5.6. Работа внешних сил при плоском изгибе стержня
§ 5.7. Использование особенностей эластики малых искривлений стержней в установлении элементарных связей между нагрузкой и перемещениями
§ 5.8. Изгибающие моменты при продольно-поперечном изгибе стержня
§ 5.9. Деформации при продольно-поперечном изгибе стержня
Глава 6. Стержневые системы
§ 6.1. Расчёт систем по деформированному состоянию
§ 6.2. Основные элементы стержневых систем
§ 6.3. Сложные функции кривизны
Заключение
Литература

Введение
Основная задача механики деформируемых тел состоит в установлении функциональных связей между нагрузкой и параметрами, характеризующими изменение их геометрии. Для обозначения любых изменений формы и размеров при упругом деформировании тел используется термин "эластика" [106] (фр. élastique - упругий, гибкий), определение их составляет "задачу эластики". В строгой математической формулировке задачи эластики нелинейны и "решение их представляет одну из наиболее сложных и актуальных проблем современной математики и механики" [89].
Для большинства стержневых конструкций требование жесткости ограничивает величину геометрических изменений формы и размеров и соответственно представлениям о "малом" и "большом" сформировано два подхода в определении их геометр деформирования. Для определения "малых" изменений сформирован ряд понятий и положений со статусом "руководящих правил и принципов", в рамках которых образована теория "малых перемещений." или "малых деформаций", методы и приемы которой нашли самое широкое применение в задачах статики, динамики, прочности, устойчивости элементов конструкций и сооружений. В этой теории, использующей допущения для линеаризации исходных уравнений задачи, по виду функциональной связи между нагрузкой и "характерным перемещением" при физической линейности материалов возникает деление систем на геометрически линейные и геометрически нелинейные. Появляются и терминологические тонкости в словесном определении допущений и обозначении геометрии деформирования. Слабо искривлённая ось изгибаемых стержней обычно называется упругой линией или упругой кривой, а под эластикой понимается "точная форма упругой оси" [85].
Обычно геометрически линейные системы образуют короткие ("относительно жёсткие") стержни, физический ресурс упругости материалов которых исчерпывается при малых изменениях форм и размеров, геометрически нелинейными становятся системы, содержащие длинные (гибкие) стержни и допус-

требование не является следствием приверженности к аналитическим выражениям, это есть естественное и необходимое условие их физической интерпретируемости для достижения цели и обоснования результата.
"Аналитическое выражение, если мы с самого начала подойдём к нему в роли хозяев, а не покорных и не мудрствующих подчинённых, если мы будем видеть в нём лишь то, что есть на самом деле - послушное нашим целям и замыслам орудие исследования функций - может сыграть в этом исследовании огромную, решающую роль и принести чрезвычайно много пользы. Более того, можно считать нормальным и естественным такое положение вещей, когда стоящий перед задачей исследования какой-либо определённой функции, прежде всего, ищет для неё удобное аналитическое выражение. Почти каждый инженер представляет себе функцию, прежде всего как формулу, как аналитическое выражение и вне этой связи, как правило, вообще не умеет мыслить о функциональной зависимости "[95].
Современное машинное исследование эластики [48] есть многократное решение линейной задачи для несуществующих форм искажений системы между начальной и конечной. Это формальный процесс без физического содержания. Обратившись к рис. 6, замечаем, что при изгибе стержня постоянного сечения сосредоточенным моментом возникают несуществующая геометрия
искажений и представление, что образованию кольца предшест-
,62,8 Нм
вуют некруговые формы. Ма-
1*71 Нм тематические приближения ас-
Рис. 7. Процесс последовательных изменений геометрии стержня
социируются с последовательными изменениями геометрий стержня. На рис. 7 приведён реальный процесс формирования кольца.