Некоторые задачи осреднения периодически микронеоднородных сред

• Автор: Сутырин, Владислав Глебович
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 166 c. : ил

ГЛАВА I. ДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР
§ I. Постановка задачи
§ 2. Медленно меняющиеся функции
§ 3. Взаимнооднозначное соответствие между обычными
и медленно меняющимися функциями
§ 4. Задача на ячейке
§ 5. Различные формы записи осредненных уравнений и
возможные постановки задачи на ячейке
§ 6. Задача на ячейке для кусочно-постоянных
функций Е. и
§ 7. Приближенная теория
§ 8. Задача об ударе
Глава II. УРАВНЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОГО СТЕРЖНЯ В ТЕОРИИ ПРУЖИН
§ I. Общая теория нерастяжимых стержней
§ 2. Пружины
§ 3. Постановка задачи и результаты
§ 4. Асимптотический анализ
§ 5. Решение задачи на витке
§ 6. Уравнения эквивалентного стержня
§ 7. Примеры точных решений уравнений эквивалентного
стержня
§ 8. Физически и геометрически линейные теории
эквивалентного стержня

§ 9. Винтовые линии - точные решения уравнений
теории нерастяжимых стержней
§ 10. Геометрия множества винтовых линий
§ II. Устойчивость, количество и бифуркации положений
равновесия винтовых линий
§ 12. Исследование энергии винтовой линии методами
теории особенностей дифференцируемых отображений
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ

Проблема осреднения, понимаемая как проблема поиска быстро-осциллирующих решений некоторых уравнений или решения большого числа примерно одинаковых уравнений, имеет длительную историю.
Сюда можно отнести рассмотрение еще И.Ньютоном колебаний струны при помощи периодически расположенных, упруго связанных между собой шаров, что, по сути дела, являлось изучением простейшей модели микронеоднородной дискретной среды. Впоследствии многие авторы неоднократно возвращались и возвращаются к этой и подобным ей моделям (см., например, /30, 44, 63/). Примерами теорий, получаемых в результате осреднения, являются также классическая термодинамика, лучевая оптика, теория оболочек и пластин, теория турбулентности, интенсивно развиваемая в последнее время механика композитных материалов (см. /4, 5, II, 43, 46, 47, 67/). В результате осреднения, как правило, возникают качественно новые эффекты: анизотропия, дисперсия, фильтрация высоких частот, появление новых внутренних степеней свободы, нелокальность, необратимость и т. д. Проблема осреднения возникает также при каждом переходе от одного, более простого, вида движения материи к другому, более сложному: аналитическая механика - термодинамика и механика сплошных сред -химия - биология - социология. Этот ряд, по-видимому, продолжается как влево, так и вправо, и, кроме того, имеет большое число внутренних переходов-осреднений. Настоящая работа относится к той части проблемы осреднения, в которой рассматривается осреднение периодически неоднородных сплошных сред, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями. Под осреднением здесь

Величины %с и Т1а удовлетворяют ограничениям
, Къ-Ъ а-«
где - символ Кронекера. Деформированное состояние нерастяжимого стержня имеет три функционально независимые степени свободы.
Кривизна и кручение кривой Г"* характеризуется величинами
СО = О- /у Т" 7~. Є » гДе £ с - символ Леви-Чивил 2. а вс > 5 с а-ьс.
ты, запятой в индексах перед £ обозначается дифференцирование по £
Мера деформации нерастяжимого стержня вводится равенствами
_І2 = & - СО. (1.2)
а & Со) а
Индексом Со) отмечаются значения величин в не де формированном состоянии. Изгиб стержня характеризуется величинами _(2 ,
* ©С
( сі , ^ ^ = I» 2), кручение - величиной -^3 •
В случае, когда на концах стержня заданы %с и V^ , истинное положение стержня есть стационарная точка функционала
I = | | 1ае&а-&ё*1? (1-3)
гй^
где I - тензор жесткостей поперечного сечения /II/.
§ 2. Пружины
Винтовая пружина - это упругий стержень со специальным недеформированным состоянием. Опишем эти состояния (рассмотрение в этом параграфе относится к недеформированному состоянию; во из-