Локализованные моды и корректность постановок линейных задач теории поверхностных волн

• Автор: Мотыгин, Олег Валерьевич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 316 с. : ил.

В.1. Общие уравнения и граничные условия теории поверхностных
волн
В.2. Линеаризация задач о волнах малой амплитуды
В.З. Стационарные задачи о взаимодействии жидкости с телами
В.4. Современное состояние линейной теории волн
В.5. Структура и содержание работы
Глава 1. Колебания жидкости периодические вдоль цилиндрических тел
§1.1. Локализация волн частично погруженными телами
1.1.1. Постановка задачи
1.1.2. Потенциал локализованной моды
1.1.3. Локальные асимптотики потенциала и его производных
1.1.4. Существование охватывающих особенности линий тока
1.1.5. Локализованные моды выше частоты отсечки, сопоставление с теоремами единственности
1.1.6. Существование локализованных мод ниже частоты отсечки
§ 1.2. Оценки частот локализованных мод колебаний жидкости
1.2.1. Интегральное тождество
1.2.2. Сингулярные пробные функции, оценки собственных частот
1.2.3. Функция Грина и её свойства
1.2.4. Функция Грина в качестве пробной, оценки собственных частот
1.2.5. Сравнение с известными оценками и примерами локализованных мод

Глава 2. Трёхмерная задача о колебаниях жидкости в присутствии ПОГРУЖЕННЫХ ТЕЛ
§ 2.1. Единственность и оценки частот локализованных мод колебаний жидкости
2.1.1. Постановка задачи
2.1.2. Признак единственности (I)
2.1.3. Оценки области единственности в пространстве параметров задачи
2.1.4. Усиление признака единственности при помощи вспомогательных потенциалов
2.1.5. Применение признака (I) для задачи о колебаниях жидкости,
периодических вдоль цилиндрических тел
2.1.6. Критерий единственности и признак единственности (II)
2.1.7. Численные результаты
2.1.8. Оценки производных функции Грина
§ 2.2. Об отсутствии локализованных мод для препятствий, имеющих ОСОБЫЕ точки
2.2.1. Постановка задачи
2.2.2. Базовое интегральное тождество
2.2.3. Об отсутствии локализованных мод
Глава 3. Колебания жидкости при наличии ограниченной свободной поверхности
§3.1. Колебания жидкости под твёрдой крышкой с двумя прорезями: постановка и метод решения
3.1.1. Постановка задачи
3.1.2. Вспомогательные утверждения
3.1.3. Спектральные задачи для интегральных операторов
§ 3.2. Свойства собственных чисел: простота и зависимость от геометрического параметра

3.2.1. О простоте собственных значений, I
3.2.2. Монотонная зависимость собственных значений от расстояния
между прорезями
3.2.3. Пределы собственных значений
3.2.4. Простота собственных значений, II
3.2.5. Схема численных исследований
3.2.6. Другие краевые задачи
Глава 4. Поступательное движение тел в безграничной жидкости со свободной поверхностью
§ 4.1. Движение полностью погруженных тел
4.1.1. Постановка задачи
4.1.2. Единственность решения задачи о движении тел в жидкости бесконечной глубины
4.1.3. Корректность постановки задачи о докритическом движении тел в слое конечной глубины
§ 4.2. Движение частично погруженных тел
4.2.1. Корректность постановки плоской задачи, описывающей движение тандема частично погруженных тел
4.2.2. Неединственность для постановки с заданным волновым сопротивлением и дополнительным расходом
4.2.3. Примеры неединственности для постановки с заданными особенностями поля скоростей в угловых точках
§ 4.3. Движение тел в двухслойной жидкости
4.3.1. Корректность задачи о движении тел в двухслойной жидкости
4.3.2. Примеры неединственности для задачи о движении тел, пересекающих поверхность раздела
Заключение
Список литературы
Приложения

1.1.5. Локализованные моды выше частоты отсечки, сопоставление с теоремами единственности

поверхности между телами. Приведём формулировку утверждения из работы [121], которая относится к рассматриваемой здесь задаче:
Пусть два частично погруженных в жидкость бесконечной глубины тела симметричны относительно оси у и удовлетворяют условию Джона. Тогда однородная задача об излучении и рассеянии волн имеет выше частоты отсечки только тривиальное симметричное — чётное по х (антисимметричное — нечётное по х) решение если при каком-то
значении т = 0,1,... выполняется условие
тт(т+ 1/4 ± 1/4) ^£Ь ^тг(т + 3/4± 1/4). (1.29)
Примеры неединственности, построенные в [121,133], [113, § 4.1] при помощи обратной схемы с использованием потенциала источника, относятся к интервалам, разрешённым указанной теоремой. В то же время, очевидно, что для примеров, полученных при помощи потенциалов
£Ь = (т + 3/4 ± 1/4) тг — е,
где е > 0 может быть сколь угодно малой величиной. Очевидно, что выражение в последней формуле при достаточно малом е попадает в интервал, запрещённый приведённой теоремой единственности, что возможно только в случае, когда геометрическая конфигурация не удовлетворяет условию Джона.
1.1.5.1. Структура линий тока для задачи о нормальном набегании волн
В этом разделе рассмотрим частный случай задачи — нормальное набегание волн (& = 0). В этом случае нам удастся полностью описать структуру линий тока и представить примеры тел, поддерживающих локализованные моды колебаний.
Потенциал для примера неединственности построим при помощи двух диполей (здесь будет удобно разместить особенности симметрично относительно вертикальной оси):

и(х,у) = -~[дхС(х,у,1т/и,0) -дхС(х,у,-к/и,0)].