Задачи со свободной границей в моделях динамики вязкоупругих сред

• Автор: Осипов, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 72 с. : ил.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
ГЛАВА 1. ДВИЖЕНИЕ ДИСПЕРСНОГО ЭЛЕМЕНТА В
ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЕ МАКСВЕЛЛА
1Л. Введение
1.2. Постановка задачи
1.3. Преобразование координат
1.4. Решение
1.5. Результат действия монотонных массовых сил
1.6. Результат действия периодических массовых сил
ГЛАВА 2. ЗАПОЛНЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В СРЕДЕ МАКСВЕЛЛА
2.1. Постановка задачи
2.2. Решение. Переход к дифференциальному уравнению
2.3. Численное и асимптотическое решение
ГЛАВА 3. ЗАПОЛНЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В СРЕДЕ КЕЛЬВИНА-ФОЙГТА
3.1. Заполнение сферической полости под действием постоянного давления на бесконечности
3.2. Учет капиллярных сил
ГЛАВА 4. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ БИНГАМА В КРУГЛОЙ ТРУБЕ С ВОДЯНОЙ СМАЗКОЙ
4.1. Введение
4.2. Постановка задачи
4.3. Решение. Анализ результатов
4.4. Движение капли под действием сил плавучести
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
а - начальный радиус капли, полости р - давление
g- ускорение свободного падения g(t) - плотность массовых сил V - скорость
и - скорость центра масс капли, скорость движения границы полости ? - время
Р - тензор напряжений
Р' - тензор сдвиговых напряжений
Р- предел текучести жидкости Бингама
£> - тензор скоростей деформации
Е - тензор конечных деформаций
/ - единичный тензор
п - вектор внешней нормали
К - средняя кривизна
И.е - число Рейнольдса
Г, - поверхность, отделяющая каплю от внешней среды х(0 - свободная граница полости
р - значения функции / внутри и вне поверхности Г, соответственно
х,у,1- декартовы координаты
г, в, (р- сферические координаты
т - время релаксации среды Максвелла
р - коэффициент динамичесской вязкости
V- коэффициент кинематической вязкости
р- плотность,
а- коэффициент поверхностного натяжения р - динамическая вязкость жидкости со - частота колебаний

Актуальность работы.
С развитием высоких технологий, медицины, добывающей и химической индустрии широкое внедрение в практику получили различные реологически сложные материалы - полимерные растворы и расплавы, эмульсии, суспензии. Описание и анализ соответствующих процессов и явлений, таких как движение высокопарафинистой и смолистой нефти, седиментация взвесей, биофизические процессы в живых клетках, дегазация растворов и расплавов полимеров, произодство химических волокон, нанесение покрытий, требуют привлечения математических моделей соответствующей сложности, учитывающих индивидуальные реологические особенности и имеющих существенные отличия от классических ньютоновских жидкостей. Использование материалов и жидкостей в условиях, при которых в них присутствуют полости, твердые частицы, капли различных сред приводит к необходимости исследования вопросов движения дисперсных элементов в жидкой матрице с неньютоновскими свойствами.
В работе не рассматриваются задачи воздействия взрывных нагрузок на вязкоупругие среды, распространение звуковых волн в них и т.д. Область применимости - это медленно меняющиеся нагрузки, слабые силовые поля, состояния, близкие к равновесным. Это позволяет не учитывать вязкую диссипацию энергии и ограничиться случаем изотермических течений в несжимаемых средах.
Работа относится к актуальному направлению гидродинамики -изучение движения вязкоупругих сред со свободными границами.

3.2. Учет капиллярных сил.
Рассмотрим поведение полости в вязкоупругой среде Кельвина-Фойгта с учетом капиллярных сил. В этом случае уравнение (3.11) примет следующий вид:
.. 3 52 ,5
5 + + 4 У— +
2 5
или в безразмерных переменных:
1 2а 2 53-я3 п - + — + к ^ = 0,
5 /ж за
5 + ———I- 4"“ + {М +1)— + 2 —г— М Яе2 —— + 2—— = 0 (3.21)
2 5 5 5 5 5 Яе
5(0 ■ Яе,
5(0 = о, / = о,
(3.22)
иг °
где N — ■
Решение строится с помощью численного интегрирования. Учет капиллярных сил приводит к результатам, аналогичным рассмотренным выше. В отличие от результата Гальперина, описанного в работе [2], в случае малого начального радиуса капиллярные силы не устремляют скорость движения границы полости до конечного ненулевого значения и не приводят к схлопыванию полости за конечное время. Режим, обнаруженный Гальпериным, при учете сил упругости вписывается в режим номер два, описанный выше в настоящей работе: скорость уменьшается до нуля при стремлении радиуса полости к положительному значению. Влияние капиллярных сил проявляется в том, что они стремятся стянуть полость быстрее, чем это происходит только лишь благодаря давлению на бесконечности в случае отсутствия капиллярности (Рис. 3.2-3.7). Но в процессе схлопывания, при достаточно большом начальном радиусе, силы упругости начинают преобладать и с некоторого момента