+
Действующая цена700 499 руб.
Товаров:
На сумму:

Электронная библиотека диссертаций

Доставка любой диссертации в формате PDF и WORD за 499 руб. на e-mail - 20 мин. 800 000 наименований диссертаций и авторефератов. Все авторефераты диссертаций - БЕСПЛАТНО

Расширенный поиск

Решение задач теории упругости методами Монте-Карло

  • Автор:

    Сорокин, Михаил Владимирович

  • Шифр специальности:

    01.02.04

  • Научная степень:

    Кандидатская

  • Год защиты:

    2004

  • Место защиты:

    Москва

  • Количество страниц:

    90 с. : ил.

  • Стоимость:

    700 р.

    499 руб.

до окончания действия скидки
00
00
00
00
+
Наш сайт выгодно отличается тем что при покупке, кроме PDF версии Вы в подарок получаете работу преобразованную в WORD - документ и это предоставляет качественно другие возможности при работе с документом
Страницы оглавления работы

Актуальность темы. Методы статистического моделирования (методы Монте-Карло) являются классическими при решении задач теории переноса [7, 15]. Они также находят широкое применение в таких областях как статистическая физика, теория турбулентности, физикохимическая кинетика, т.е. там, где распространено статистическое описание тех или иных сложных физических процессов. Однако методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных применяются значительно реже. Первая книга [5], посвященная данному вопросу, вышла в 1980 г., вторая [8] - в 1984 г. Монография [27], вышедшая в 1989 г., содержит наиболее полное изложение результатов по решению краевых и начально-краевых задач теории потенциала, диффузионных уравнений и уравнения теплопроводности. В ней также рассмотрены алгоритмы статистического моделирования для некоторых задач теории упругости как для плоского, так и для трехмерного случаев.
В настоящее время при решении краевых задач для уравнений в частных производных (в том числе и задач теории упругости), в основном, применяются методы конечных элементов и разностные методы, основанные на аппроксимации исходной континуальной задачи ее дискретным аналогом. При этом задача сводится к решению одной или нескольких систем линейных алгебраических уравнений. При таком подходе находится все поле решения целиком, хотя в механике деформируемого твердого тела достаточно распространена ситуация, при которой необходимо знать решение только в нескольких заранее известных точках (например, точках концентрации напряжений).
Другой важной особенностью этих методов является сильное падение эффективности при росте размерности задачи. Прежде всего, это связано с большим объемом данных, которые необходимо загружать в оперативную память компьютера (или память на жестком диске), скорость работы с которой представляет узкое место практически для всех современных вычислительных систем.
Методы Монте-Карло имеют ряд отличительных особенностей в сравнении с детерминированными разностными и вариационными методами, которые позволяют во многом преодолевать описанные выше проблемы. Во-первых, зависимость требуемой памяти ЭВМ от размерности задачи, как правило, близка к линейной. Это позволяет эффективно решать задачи высокой размерности. Во-вторых, решение задачи в конкретной точке может быть получено без построения поля решения целиком во всей области, за счет этого существенно уменьшается время вычислений и объем используемой оперативной памяти.
С точки зрения реализации методов Монте-Карло можно сказать, что она достаточно универсальна для различных областей, границы которых могут задаваться как аналитически, так и по точкам. Также стоит отметить, что при использовании в методах Монте-Карло несмещенных оценок погрешность оценивается в ходе решения без существенных дополнительных затрат машинного времени.
Наконец, одним из важнейших преимуществ методов Монте-Карло является их автоматическая распараллеленость, которая возникает из самой структуры алгоритмов, представляющих собой многократную реализацию независимых случайных траекторий. Число таких независимых реализаций может быть очень большим (несколько миллионов и больше), что позволяет использовать параллельные вычислительные блоки независимо друг от друга все время решения вплоть до объединения результатов счета в конце работы программы.
Исторически, методы Монте-Карло включают в себя три наиболее важных подхода, используемых для решения краевых задач. Первый подход заключается в приближенном вычислении континуальных интегралов, представляющих решение соответствующей краевой задачи. При этом основная сложность состоит в получении такого представления решения в виде интегралов по определенной мере, для вычисления которых может быть применен метод Монте-Карло.
Второй подход основан на использовании теорем о среднем и формул Грина для стандартных областей. Чаще всего в качестве такой области выбирается шар или сфера. Указанный подход приводит к методам блуждания внутри области, в частности, к методу блуждания по сферам.
Третий подход связан с использованием глобальных интегральных уравнений на границе рассматриваемой области. Чаще всего, интегральные уравнения записываются не для самого решения, а для некоторой вспомогательной функции. Примером применения данного подхода может служить метод блуждания по границе на основе граничных интегральных уравнений теории потенциала. Также
существуют различные модификации методов Монте-Карло, которые можно интерпретировать как частные случаи трех основных подходов. К ним относятся методы блуждания по решетке и методы решения систем линейных алгебраических уравнений [23, 31].
Данная классификация дана в монографии [27], там же можно найти подробный обзор работ по этому вопросу. Более подробно второй и третий подходы описаны в книгах [46] и [47]. Таким образом, в области общей теории решения краевых задач методами статистического моделирования выделились основные направления исследований, были получены эффективные алгоритмы для решения классических краевых задач уравнений математической физики.
Указанные выше преимущества методов Монте-Карло перед детерминированными методами определили естественный интерес к их применению для решения задач механики деформируемого твердого тела. В работе [4] был предложен метод решения краевой задачи для уравнения Ламе в плоском случае. В [5] и [17] методы Монте-Карло были применены к решению задачи об изгибе пластин. Более подробное изложение этого вопроса можно найти в [9]. Работа [28] посвящена алгоритмам блуждания по малым сферам для решения метагармонических уравнений, а в [30] рассматриваются неоднородные задачи теории пластин. В работе [48] были приведены методы решения частных задач для трехмерного случая (плоский и антиплоский сдвиги), которые могут быть сведены к классическим задачам теории потенциала.
Однако наибольший интерес с вычислительной точки зрения представляют пространственные задачи теории упругости. Здесь тоже практически сразу выделились два основных метода Монте-Карло: метод блуждания по сферам и метод блуждания по границе. Описание и различные аспекты применения первого метода можно найти в [23, 25, 27, 41, 42, 46], при этом круг решаемых задач ограничивался первой и второй внутренними краевыми задачами теории упругости для однородной изотропной среды. Описание второго метода дано в [26, 27, 29, 47], он расширил область применения методов Монте-Карло на внешние краевые задачи тех же типов.
Здесь необходимо отметить ряд особенностей этих методов, которые определяют области их преимущественного применения.
1. Алгоритм блуждания по границе позволяет строить статистические оценки решения одновременно в произвольном множестве точек, используя одни и те же траектории случайных блужданий. Это позволяет применять этот метод и в тех случаях, когда требуется построить поле решения во всей рассматриваемой области.
6.5. В соответствии с параметром /3 уточним Ь, для достижения заданной величины доверительного интервала (см. (2.41)). Обычно достаточно считать порядка нескольких процентов.
Замечание: Шаг 6.5. можно выполнять не для всех номеров я, а для нескольких выборочных, так как на практике считают X, = const для всех s.
Шаг 7. Выполняем /1 = /1 — hf 2 на Е„ и /1 = /2 на Е^-, после чего переходим на Шаг 4-, если верно условие
и кладем г = г + 1.
В приведенной выше схеме используются две переходные плотности: ри и ра. Это позволяет учесть тот факт, что интегральное ядро Г (ж, у ) имеет особенность порядка 1/г при ж —У у, а ядро ТГ^ (ж, у) — порядка 1/г2. Например, в качестве ри можно брать плотность (2.20)-(2.21), а в качестве ра — плотность процесса изотропного блуждания.
Результаты решения тестовых задач.
Рассмотрим результаты решения тестовых краевых задач классическим и модифицированным методами блуждания по границе. Как и в случае основных краевых задач сравнение производилось с детерминированным разностным методом решения интегральных уравнений ([20, 23]). В качестве тестовых использовались следующие задачи:
1.Смешанные краевые задачи для упругого шара с граничными условиями, соответствующими полю перемещений
задачи типа 1S-1, или полю перемещений

Рекомендуемые диссертации данного раздела

Время генерации: 0.155, запросов: 967