Устойчивость, нелинейный изгиб и колебания стержней и пластин

• Автор: Охоткин, Кирилл Германович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 117 с. : ил

Оглавление
Введение
Глава I. Общие сведения по изгибу и колебаниям стержней и теории топких оболочек
1. Устойчивость стержневых систем
1.1. Система координат
1.2. Уравнение равновесия стержня
1.3. Уравнение равновесия стержня в касательной системе координат
2. Устойчивость тонких пластин и оболочек
2.1. Уравнение сильного изгиба тонкой пластины в декартовых координатах
2.2. Векторное уравнение изгиба пластины в цилиндрических координатах
3. Колебания нагруженных стержней
Выводы
ГЛАВА II. Систематизация решений в параметрическом виде для нелинейного изгиба стержней
1. Общее решение задачи об изгибе стержня
2. Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом под действием нагрузки под произвольным } глом
3. Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом под действием поперечной силы 3
4. Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом под действием продольного сжатия
5. Изгиб стержня как аналогия перемагничивания магнитной системы
6. Изгиб стержня с обоими защемленными концами под действием продольного сжатия
7. Изгиб стержня с обоими шарнирно закрепленными концами под действием продольного сжатия
8. Сводная таблица решений и описание интерактивной программы демонстрации аналитических решений для изгибов стержней
Выводы

ГЛАВА III. Решение уравнения равновесия для круговой пластины
1. Устойчивость круговой пластины под действием радиального сжатия
1.1. Задача о пластине с защемленными краями
1.2. Задача о пластине с закрепленными краями
2. Специальные функции. Система обозначений
2.1. «Эллиптический интеграл Бесселя» 5
2.2. «Эллиптическая амплитуда Бесселя»
2.3. «Эллиптический синус Бесселя»
3. Формы прогиба пластины. Пороги внешней нагрузки.
3.1. Представление решений с помощью введенных специальных функций
3.2. Спектр внешней нагрузки и профили пластины
Выводы
Глава IV. Колебания нагруженных стержней после потери устойчивости
1. Общее уравнение движения стержня
2. Колебания консоли в нагруженном состоянии
2.1. Определение частоты собственных колебаний нагруженного стержня
2.2. Частоты колебаний при продольной нагрузке
2.3. Частоты колебаний при поперечной нагрузке
3. Аналогия с магнитными колебаниями в ферромагнитном слое
Выводы
Заключение
Библиографический список литературы
Приложения
1. Общие сведения из геометрии поверхностей
2. Интерактивная программа демонстрации аналитических решений для изгибов стержней
3. Программа расчета специальных функций
4. Решение уравнения изгиба стержня типа уравнения нелинейного маятника

2. Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом под действием нагрузки под произвольным углом
Поставим граничные условия к уравнению равновесия (2.1). Защемление на левом конце стержня требует, чтобы
0(0) = 0.
На свободном конце должно выполнятся условие равенства нулю момента сил, т.е.
<ад/ Для уравнения (2.3) эти условия запишутся в виде
у(0) = ф0, 4у()/Ж = 0. (2.9)
Применим первое условие (2.9), используя решение (2.4) уравнения (2.3). Получим, что бп Т) = зт(ф0/2)/к, следовательно
^8Шф0/2^

arcsin
(2.10)

Соответственно, модуль к изменяется в пределах, определяемых углом действия силы
эшфо / 2 < к < 1.
Применив второе условие (2.9), аналогично получим, что сп(д + С,) = 0, откуда 4 = (2«-1)ад-^, «=1,2,3,..., (2.11)
где К(к) и /Дф, к) - соответственно полный и неполный эллиптические интегралы первого рода. Из выражений (2.10) и (2.11) следует спектр собственных значений qn{k), который в свою очередь определяет систему порогов внешней нагрузки
р f2l м

(2п-І)К(к)~ F
arcsin

ІШР0/2Л

(2.12)

где Рс = (л/2) EHL - Эйлерова критическая сила, ап- номер моды решения. Зависимость нагрузки Р1РС от двух переменных к и ф0 приведена на рис. 2.1. в соответствии с выражением (2.12).
Координаты точек стержня в параметрическом задании определяются выражениями (2.7) и (2.8) подстановкой значений q и F из (2.10) и (2.11). Таким образом, каждому значению внешней силы Р и номеру моды п будет соответствовать своя форма прогиба стержня, задаваемая одним параметром - модулем к, который определяется из выражения (2.12) по известной силе Р. Минимальному значению