Ортогональные кинематические разложения в вариационном методе исследования краевых задач механики деформируемого твердого тела

• Автор: Тучкова, Наталия Павловна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 117 с. : ил.

В настоящее время значительно расширился класс прикладных задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ). В связи с развитием современных технологий возникла потребность проведения I новых исследований в механике материалов, что в свою очередь связано с. существенными достижениями в технике проведения- экспериментальных исследований. Проблемы механики, возникшие при разработке новых материалов, требуют развития, новых моделей и методов решения. Так, развитие технологии, с одной стороны и техники проведения экспериментов с другой привели к тому, что во многом изменилось понимание характера взаимодействия элементов структуры материалов на: различных структурных уровнях. Возможность учета физических явлений в материалах на разных масштабных уровнях привели к дальнейшему развитию методов исследования в механике материалов. Рядом несомненных перспектив обладают методы прямого численного моделирования материалов, связанные с учетом реальной структуры материалов на атомномолекулярном уровне. Тем не менее, методы МДТТ, основанные , на развитии новых континуальных и континуально-дискретных моделях являются формально более обоснованными. В частности, они лежат в основе современной механики материалов. Поэтому весьма актуальными остаются проблемы, связанные с развитием, именно методов решения прикладных задач МДТТ, с возможностью их применения в сложных моделях механики материалов.
Внедрение нового поколения конструкционных материалов позволяет решать проблемы совершенствования конструкций, увеличения: сроков их службы и снижения
материалоемкости, однако, это требует дальнейшего развития методов решения прикладных задач и расчетных моделей, учитывающих особенности, деформирования, материалов. Механика материалов* связана с определением? моделей деформирования материалов и построением соответствующих математических моделей (формулировкой краевых задач), в то время как конкретные свои свойства материалов проявляются в элементах конструкций. Поэтому класс задач, связанных с развитием уточненных моделей деформирования -конструктивных элементов и численно-аналитических методов исследования их поведения при различных условиях нагружения, также представляется актуальным.
Наилучшими (в смысле энергетической постановки задачи) для решения прикладных проблем МДТТ являются вариационные подходы к моделированию, вариационные методы выделения частных моделей и прямые методы решения, основанные на вариационных постановках задач. Такие подходы обеспечивают корректность и энергетическую согласованность моделей. Вариационные подходы являются идеальным средством построения
моделей сред со сложными свойствами[52], и могут быть использованы как основа для получения корректных вариантов моделей деформирования конструкций, получения критериев корректности и согласованности (например, при использовании уточненных моделей стержней, пластин и оболочек). Наконец, вариационные методы исследования дают мощные средства для построения решений прикладных задач (прямые методы решения).
Отметим, что с точки зрения прикладных задач имеет место два взаимно дополняющих подхода: разработка методов получения, наиболее точных аналитических и численных решений задач теории упругости ортотропного тела для широкого класса краевых задач; разработка алгоритмов получения приближенных, частных решений, являющихся основой для проведения качественного анализа деформирования материалов и конструкций. Как правило, характер изменения частных решений заранее известен из физических соображений или из решения в рамках вспомогательных частных моделей (например, можно считать известным для пластин и оболочек характер изменения частных решений: типа краевых эффектов или асимптотик сингулярных решений в задачах механики разрушения). Тогда решение сводится к корректному определению соответствующих амплитудных характеристик. Наилучшей основой для обоих этих подходов является вариационный метод исследования.
Поэтому разработка методов получения на базе вариационных подходов, как численноаналитических, так и приближенных решений, связанных с частным характером изменяемости перемещений (решения), представляется актуальной задачей и имеет значительный-практический интерес. Исследованию этих вопросов посвящена диссертация.
Перейдем к обзору работ, посвященных проблемам, обсуждаемым в диссертации. Отметим, что при;этом не ставится задача дать полное сравнительное.описание способов построения новых моделей материалов, уточненных моделей деформирования конструктивных элементов, методов построения аналитических и численных решений задач теории, а также вариационных подходов и методов. Имеются известные подробные обзоры, в монографиях [1, 4, 5, 6, 7, 11, 15, 25, 37,41-43,47, 48, 59, 61], обзорных статьях [10, 16,19,29, 52, 62 и др.].
Принципиальные результаты при разработке, прикладных, моделей новых конструкционных материалов (в том числе композитов), асимптотических итерационных и иных приближенных методов исследования деформаций элементов конструкций получены в первую очередь такими учеными как: А.В.Бабешко, А.В.Березин, В.А.Бунаков, Г.А.Ванин,
В.В.Васильев, И.И.Ворович, Р.В.Гольдштейн, Э.И.Григолюк, Е.М.Зверяев, Н.Ф.Морозов, Ю.М.Новичков, И.Ф.Образцов, А.Н.Полилов, Б.ЕЛобедря, ГЛ.Попов,- Н.Н.Рогачева, Ю.Н.Тарнопольский, СЛ.Тимошенко и др. Отметим универсальность алгоритма построения уточненных моделей с использованием вариационной постановки[52]. При вариационноэнергетическом методе весь процесс моделирования заменяется заданием формы потенциальной энергии деформации и сводится к определению списка аргументов. По списку
аргументов устанавливается конкретная форма потенциальной энергии. Например, для линейных процессов потенциальная энергия должна записываться как квадратичная форма от аргументов с учетом их тензорной размерности[27]. Следует также особо отметить, что весьма эффективными в этом направлении являлись асимптотические методы [11, 16, 20, 22, 30, 31, 51, 60, 67, 71, 72], методы гипотез в механике композитных стержней, пластин и оболочек [5, 10, 16, 69], итерационные схемы [17, 33, 71, 72] и др.
Основные этапы развития современных аналитических методов механики деформируемого твердого тела связаны с именами таких известных ученых как: Н.Х.Арутюнян,
A.Я.Александров, В.М.Александров, В.А.Бабешко, В.В.Болотин, В.В.Васильев, В.В.Власов, И.И.Ворович, Л.А.Галин, Г.А.Гринберг, В.Т.Гринченко, В.М.Даревский, А.И.Каландия, Б.Г.Коренев, H.H.Лебедев, А.ИЛурье, Н.Ф.Морозов, К.М.Моссаковский, Н.И.Мусхелишвили, П.Ф.Папкович, Б.Е.Победря, В.К.Прокопов, Г.Я.Попов, В.Л.Рвачев, А.Ф.Улитко, Ю.А.Устинов, Я.С.Уфлянд, К.Ф.Черных, Д.И.Шерман и др.
Широкое развитие получили прямые методы исследования прикладных задач теории упругости, основанные на фундаментальных исследованиях И.Г.Бубнова, Б.Г.Галёркина, С.К.Годунова, Л.В.Канторовича, М.В.Келдыша, Н.М.Крылова, С.Г.Михпина, В.Ритца, СЛ.Соболева, Е.Трефтца.
В настоящей работе в рамках вариационной процедуры развивается способ построения приближенных решений в форме разложений по специальной системе тригонометрических функций. Поэтому кратко остановимся на методах получения решений прикладных задач теории упругости с помощью разложений по заданной системе функций.
Один из распространенных подходов в развитии методов решения двумерных задач теории упругости связан с представлением решения с помощью разложения в тригонометрические ряды Фурье. При исследовании краевых задач с неперекрестными граничными условиями решение, как правило, сводится к определению искомых коэффициентов в разложениях из бесконечной системы алгебраических линейных уравнений. Важные результаты в разработке этих методов получены Б.Л.Абрамяном, Н.Х.Арутюняном,
B.Т.Гринченко и А.Ф.Улитко, Г.Я.Поповым, В.М.Даревским и другими учеными, в работах которых не только строятся эффективные приближенные решения, но и исследуются полученные бесконечные системы алгебраических уравнений, оценивается сходимость к точному решению. Для построения ( эффективных методов решений существенным представляется выделение сингулярных составляющих решений в окрестности особых угловых точек области в частное решение. Построению сингулярных решений в математическом плане посвящены фундаментальные исследования А.В.Кондратьева, О.А.Олейник, В.Г.Мазьи, Б.А.Пламеневского, а в приложении к. задачам механики В.Т.Гринченко, А.И.Каландия,
C.Е.Михайлова, Н.Ф.Морозова, С.А.Назарова, Г.П.Черепанова и др. Существенный прогресс в
ГЛАВА 2.
Рис. 2.3. Изменение решений уравнения аЛ sin Л - cos Л = 0 от 0 до 5л, при а = 0.5,1,2,5, маленькие штрихи отображают решения для маленьких а, большие — для больших,
соответственно.
Таблица 1.
Корни уравнения аЯ sin Я-совЯ = 0(а = 0.1) Значения Л„ =як(к = 1, 10) Разница <У4(* = 1,...10)
1.42887 0 1.42887
4.3058 3.14159 1.16421
7.22811 6.28319 0.944924
10.2003 9.42478 0.775485
13.2142 12.5664 0.647815
16.2594 15.708 0.551398
19.327 18.8496 0.477478
22.4108 21.9911 0.4197
25.5064 25.1327 0.373642
28.6106 28.2743 0.336248