Квазистатические контактные задачи для вязкоупругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостью

• Автор: Марк, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с. : ил.

Введение
Контакт является основным способом приложения нагрузок к деформируемым телам, вследствие чего контактные задачи занимают центральное место в механике деформируемого твердого тела. Изучение проблем контактного взаимодействия является важной задачей, от решения которой во многом зависят успехи машиностроения, строительства, сейсмологии и других областей человеческой деятельности. Взаимодействиями контактирующих поверхностей определяются процессы разрушения в машиностроении, причем величина контактных давлений является основным фактором, влияющим на прочность и долговечность конструкций. Следовательно, для создания работоспособных конструкций необходимо знать распределение контактных давлений.
Во второй половине XX века были созданы и стали применяться в различных областях новые материалы - полимеры, обладающие свойством вязкоупругости. Вообще говоря, к вязкоупругим ( или наследственно-упругим) относят материалы, состояние которых зависит как от приложенных в данный момент внешних воздействий, так и от воздействий в предшествующие моменты времени. Наиболее характерные представители этих мате-риалов - полиамидные пластики, эластомеры, а также полипропилен.
Полиамидные пластики (или полиамиды) - конструкционные материалы, которые, по сравнению с полимерами общего назначения, характеризуются повышенной прочностью и термостойкостью и применяются при создании изделий, требующих долговечности, износостойкости, пониженной горючести и способных выдерживать циклические нагрузки. В машиностроении полиамиды применяются для изготовления зубчатых колес, втулок-прокладок, корпусных деталей пневматических инструментов; в текстильной промышленности из полиамидов изготавливают синтетические волокна.
Эластомеры широко используются в промышленности. Наиболее характерные представители - полиуретаны, резины и каучуки. Из этих материалов изготавливают шины, уплотнительные детали, различные валики.
Полипропилен широко используется в промышленности для изготовления труб для горячего и холодного водоснабжения, емкостей, тары, а также игрушек.
Изложенные обстоятельства свидетельствуют о важности разработки и использования методов решения задач теории вязкоупругости.
В математическом плане контактные задачи вязкоупругости относятся к классу задач механики сплошных сред со смешанными граничными условиями и сводятся, как правило, к решению интегральных уравнений с сингулярным ядром. При решении контактных задач вязкоупругости часто используется модель стандартного вязкоупругого тела (модель Кельвина), так как она дает достаточно неплохое качественное описание поведения материала, а также позволяет в ряде случаев получить аналитические решения.
Контактные задачи вязкоупругости условно можно разделить на два типа.
К первому типу относятся задачи о вдавливании жесткого тела - штампа в вязкоупругое. К указанному можно отнести работы [13], [18], [20]. В этом случае искомое контактное давление под штампом зависит как от времени, так и от координат. В данных задачах, когда область контакта не изменяется во времени, решение может быть получено с помощью принципа Вольтерра [21], [22], [11], [12], а при ядрах, зависящих от разности аргументов, - с помощью принципа соответствия [21], [22]. Решение задачи сводится к расшифровке операторов или к отысканию оригиналов по известному отображению. В случае, когда область контакта неизвестна и меняется во времени, принцип Вольтерра и принцип соответствия неприменимы. Способ решения существенно зависит от того, возрастает или уменьшается область контакта [23]. При уменьшающейся области контакта задача сводится к последовательному решению двух интегральных уравнений, а в случае увеличивающейся области - к перестановке пределов интегрирования, а затем к последовательному решению двух интегральных уравнений. Указанные задачи могут найти применение, например, при расчете фундаментов, опор, когда грунт имеет вязкоупругие свойства.
Ко второму типу задач, который рассматривается ниже, а также в главах I, II, III, относятся задачи о стационарном движении штампа по границе вязкоупругого тела. Указанным задачам посвящено достаточно большое количество работ. Зачастую в подобных задачах получить,замкнутых решений не удается, качественный анализ численных решений весьма затруднителен.
Одним из первых советских авторов, который рассмотрел вышеуказанную задачу в конце 30-х, начале 40-х годов прошлого века, был А. Ю. Иш-линский [15],[16]. Задача состояла в определении силы трения при качении цилиндра, но вязкоупругому основанию и решалась в предположении существования на линии контакта одного участка сцепления и одного участка скольжения. Деформируемое основание заменялось системой раздельных стержней, которые могли отклоняться в сторону и укорачивающихся пропорционально усилиям, действующим по касательной и соответственно по нормали к торцу. Определены асимптотические представления этой силы для больших и малых скоростей. Из этих зависимостей видно, что при увеличении скорости сила трения стремится к нулю.
В последующих работах рассматривалось качение вязкоупругого цилиндра но основанию из того же материала.
В работе Г.А. Бойченко [5] рассматривалась задача о сопротивлении перекатыванию в предположении медленного равномерного качения цилиндра весьма большого радиуса по границе полупространства. Считалось, что материалы катка и полупространства обладают наследственной упругостью, участок контакта состоит из зоны сцепления и зоны скольжения. На основании принципа Вольтерра задача свелась к соответствующей плоской задаче теории упругости, сингулярные интегральные уравнения решены, в конечной форме, после чего с помощью реализации операторов наследственной упругости получено решение задачи.
В одной из работ Р.Я. Ивановой [14] была рассмотрена задача о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала. Задача решалась в плоской постановке; материал считался линейно-вязкоупругим, объемное последействие отсутствовало. Процесс считался стационарным. При решении использовались принцип Вольтерра и метод Мусхешвилли [19]. Полученные при этом два сингулярных уравнения содержали реологический оператор, который выражался через резольвенту ядра наследственности при сдвиге. Одно из этих интегральных уравнений удалось свести к виду, позволяющему решить его методом Карлемана. Решение было выписано в квадратурах, вычислялись они приближенно применительно к материалам, обладающим достаточно большим временем релаксации.
Подобная задача была рассмотрена И.Г. Горячевой в работе [9]. Предполагалось, что вся площадка контакта состоит из 2-х участков: участка сцепления и участка скольжения соприкасающихся поверхностей. Задача решалась с помощью 2-х функций комплексных переменных; в итоге были найдены уравнения для определения длины площадки контакта и участка