Использование уравнений Лагранжа в теории удара и в динамике развития трещин

• Автор: Сысик, Валерий Павлович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 89 с. : ил

Введение
Исследования поведения упругих систем под действием динамических нагрузок, а также при ударе и задача о развитии трещин представляют большой интерес. Наряду с использованием при этом численных методов и экспериментальными исследованиями, важным является разработка и апробация новых аналитических методов, основанных на использовании уравнений Лагранжа с множителями.
Проблема соударения упругих тел, как с точки зрения квазиста-тической теории удара, так и с точки зрения динамической теории, достаточно широко рассматривается в литературе. Подробный обзор аналитических методов, применяемых в теории удара, а также обширный спектр решенных задач, содержится в монографии С.А. Зегжды «Соударение упругих тел». [21]. Определить по квазистатической теории то, как протекает соударение шаров во времени, т.е. найти силу соударения как функцию времени, удалось Г. Герцу[10,17,4]. Теория Герца относится не только к случаю соударения шаров, но и к случаю прямого, центрального удара двух тел, ограниченных в окрестности точки контакта поверхностями второго порядка, при этом квазистатически учитываются только местные деформации. При решении задачи о соударении одномерных или двумерных упругих тел используется не только квазистатическая теория Герца, но и динамическая теория, учитывающая общие деформации тел. Сочетание ква-зистатического подхода к местным деформациям и динамического к общим, позволило получить новые результаты, а также оценить границы применимости обоих методов. Идея одновременного учета местных деформаций и упругих колебаний в соударяющихся телах, предложенная Дж.Сирсом [6], получила широкое распространение. В
дальнейшем она была разработана С.П. Тимошенко [35] применительно к поперечному удару шара по балке. В.Л. Бидерман [11] обобщил теорию С.П. Тимошенко на случай удара шара по одномерной или двумерной упругой системе.
При решении задачи об ударе по упругой системе, состоящей из элементов необходимо сначала найти собственные частоты и формы этой системы. Метод их определения, предложенный С.А. Зегждой и М.П. Юшковым, заключается в представлении движения системы в виде рядов по собственным формам элементов системы. Уравнения, выражающие связь между элементами системы рассматриваются как голономные связи. В такой постановке задачи оказывается возможным применение уравнений Лагранжа II рода с множителями. При этом уравнение для определения собственных частот получается из уравнений связей. Метод разработан на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ и опубликован в работах [5,8,24].
Литература, посвященная распространению трещин в упругохрупких материалах, ограничивается анализом условий страгивания трещин или их стационарного распространения. Задача о нестационарном росте трещин изучена значительно хуже, т.к. даже при наиболее простой постановке, когда заданы скорость и направление движения трещины, определение сопутствующего напряженного состояния связано с серьезными математическими трудностями[7,2,25,29,3,1]. Поэтому при исследовании динамических задач механики трещин широко используются упрощенные модели, в частности, так называемая модель «балочного приближения», которая применяется как для изучения условий старта трещин [15] , так и для анализа задач о её распространении [27,28,32]. При этом система с бесконечным числом
степеней свободы моделируется, как правило, системой с одной сте-

пенью свободы. Наиболее последовательный анализ динамических задач механики трещин на основе «балочной» модели был осуществлен в [27,28].
Следует отметить, что задача о динамическом развитии трещины является крайне сложной, т.к. исследуемый объект имеет изменяющийся во времени размер из-за роста трещины. В системах с изменяющимся размером затруднено применение классических методов из-за переменности области интегрирования, которая сама входит в задачу как одно из неизвестных. Методика рассмотрения длины трещины как обобщенной Лагранжевой координаты, а условий отсутствия прогиба и угла поворота в вершине трещины в виде двух голо-номных связей, и запись прогиба берега трещины в виде ряда по балочным функциям свободной балки, позволяет применить уравнения Лагранжа с множителями к анализу динамики такой системы. В предлагаемой методике динамически учитывается заданное число степеней свободы и квазистатически прогиб по высшим формам. При этом введение квазистатического прогиба позволяет исключить неизвестные реакции связей из полученных уравнений Лагранжа, что является принципиальным при решении подобных задач.
Цель работы заключается в демонстрации эффективности использования уравнений Лагранжа при решении динамических задачи о соударении упругих тел, а также в разработке методики применения уравнений к динамике систем переменного состава, в частности, к динамике развития трещины.
Основные результаты, выносимые на защиту:
• Рассмотрено применение уравнений Лагранжа с множителями для нахождения собственных частот и собственных форм систем, состоящих из произвольного количества одномерных и двумерных тел.

Глава 2 - Использование уравнений Лагранжа при решении задач о развитие трещины в тонком брусе.
§1. О возможности применения уравнений Лагранжа II рода к механическим системам переменного состава.
Рассмотрим голономную механическую систему, состоящую из N материальных точек, часть из которых находится в данный момент времени ? в покое, а другая часть - в движении. Будем считать, что переход из состояния покоя в состояние движения осуществляется плавно и исключается случай, когда присоединение (отпадение) частиц осуществляется за счет внутренних сил и сопровождается скачкообразным изменением скоростей на границе присоединения (отпадения).
Предположим также, что рассматриваемая система такова, что положение всех ее точек, как находящихся в движении, так и в покое, может быть однозначно определено заданием независимых параметров д'0,#1,.--?#'5'-1 (5<3//). Другими словами считаются заданными вектор-функции:
гу=гу(д),д = (дд...,д^1) у = 1,---,Лг (2.1)
Здесь гу - радиус вектор массы ту .
Предположим, что эти вектор-функции имеют непрерывные частные производные вплоть до второго порядка, а также непрерывную производную по времени вплоть до второго порядка. Это предположение соответствует указанному выше предположению о том, что переход точек из состояния покоя в состояние движения осуществляется плавно.
Введем в рассмотрение сумму: