Аналитические приближения плоской задачи наложения больших деформаций для различных моделей нелинейно-упругих материалов

• Автор: Рыбалка, Екатерина Викторовна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 134 с. : ил.

1 Основные соотношения теории наложения больших деформаций
1.1 Основные термины и обозначения теории наложения больших деформаций
1.2 Кинематика деформаций
1.3 Определяющие соотношения
1.4 Уравнения равновесия и граничные условия
1.5 О постановке граничных задач теории наложения больших деформаций
1.6 Плоская деформация и плоское напряженное состояние
2 Постановка задачи и метод решения
2.1 Постановка задачи
2.2 Применение метода Синьорини к решению задачи
2.3 Алгоритм решения задачи об образовании полости
2.4 Решение задачи с помощью метода Колосова-Мусхелишвили
3 Результаты расчетов и их анализ
3.1 Сжимаемые материалы
3.2 Несжимаемые материалы
3.3 Сравнение результатов решения задачи с частным случаем точного решения и конечно-элементным решением
Заключение
Приложение
Литература

В диссертационной работе средствами компьютерной алгебры впервые получено приближенное аналитическое решение плоской задачи об образовании круговой полости в предварительно нагруженном теле из нелинейноупругого материала. Свойства материала описываются различными моделями сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов. Форма полости задается в момент образования. Рассматривается как вариант решения задачи, когда образованная граничная поверхность свободна от нагрузки, так и вариаЕгг, когда по границе полости распределено давление. Учитывается, что возникновение в теле полости приводит (по крайней мере, в окрестности образованной граничной поверхности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие. Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций [35, 36].
Следует отметить, что вклад в развитие как нелинейной теории упругости, так и эксперимента для нее внесли многие отечественные и зарубежные специалисты, в частности, Г.М.Бартенев, В.Л.Бидерман, В.Д.Бондарь, И.И.Блох, М.Ф.Бухина, И.И.Ворович, И.И.Гольденблат, А.Н.Гузь,
Н.В.Зволинский, Л.М.Зубов, Ю.И.Койфман, Ю.А.Крутков, Л.И.Кутилин,
А.И.Лурье, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожилов, В.А.Пальмов, П.М.Риз, Г.Н.Савин, Л.И.Седов, Л.А.Толоконников, Т.Н.Хазанович, И.А.Цурпал, К.Ф.Черных, P.J.Blats, A.E.Green, W.L.Ko, М.А.Moony, F.D.Mumaghan, W.Noll, R.S.Rivlin, L.R.G.Treloar, C.Truesdell, O.Watanabe, W.Zema и многие другие. История развития нелинейной теории упругости достаточно подробно описана, например, в монографии А.И.Лурье «Нелинейная теория упругости» [51]. Подробные исторические обзоры становления линейной теории упругости приведены в монографиях А.Лява [52] и Е.Треффтца [87], а также обзоры в книгах С.П.Тимошенко, например [79], ориентированных на инженеров, связанных с конкретными практическими расчетами. Ссылки на вышеперечисленные работы показывают, что решения для задач линейной теории упругости существуют давно, и математический аппарат в этой области хорошо проработан. Начало и бурный рост нелинейной теории упругости пришелся на середину и вторую половину XX века. На сегодняшний день общее число публикаций в данном направлении огромно. Поэтому понятно, что модели и методы решения задач в данной области тоже достаточно подробно проработаны. Однако небольшое число (по сравнению с количеством экспериментов для линейной теории упругости) корректно выполненных работ и обработанных экспериментальных данных по определению механических характеристик для различных групп материалов является одной из преград развития и применения теории моделей, связанных с учетом конечности деформаций.
Внимание к теории конечных деформаций обусловлено применением в современной технике изделий из высокоэластичных материалов, испытывающих в процессе эксплуатации большие упругие деформации [67], а также развитием механики разрушения, связанного с зарождением и ростом микродефектов при нагружении [59, 66]. Положения этой теории применительно к высокоэластичным материалам сформулированы в работах Р.Ривлина [99], М.Муни [97], Л.Трелоара [85, 86], подробно проработаны в монографиях
В.В.Новожилова [64, 65], Л.И.Седова [72], А.И.Лурье [51], А.Грина и Дж.Адкинса [1, 15], К.Трусделла [88], Д.И.Кутилина [31]. Многие важные частные задачи рассмотрены в работах [8, 25, 26, 28, 102]. Большой вклад в развитие нелинейной теории упругости, вязкоупругости, пластичности внесла тульская школа механики, основанная Л.А.Толоконниковым [80, 81, 82, 83]. Это, например, работы Г.С.Тарасьева [74, 75, 77, 78], Н.М.Матченко [53, 54, 55], А.А.Маркина [57, 58], В.А.Левина [33, 35] и их учеников.
Исследование эффектов наложения деформаций является одним из важных направлений теории больших деформаций. Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций было осуществлено Г.С.Тарасьевым [74, 75] и В.А.Левиным [34, 35, 48, 49, 84]. В работах

- для материала Л.А.Толоконникова (сжимаемого):
о«) ' 0,0) 0(°)2> ' 0(1) о(О)2''
£й 0,2 = Л Ео,2— Е 0,2 1 + 2в Ео,2 Ео,2
1 , У
(2.127)
0(0)
Для приведенных соотношений тензор £о.2 можно найти из уравнения (2.44):
(2.128)
о<°> т ,
£0,2=-(Ч^+^Г).
5. Определяется тензор <То2 по формуле [36]:
- для сжимаемых материалов:
о (» 0<°> т 1(°> 1<°)
<т£> = 1о,2- Д$ Ео,2+ • £о,2+Ео,2где Д[,02 - величина, определенная из уравнения (2.72):
д(0)_ш(0) т ^0,2 ~ т 0,2 1 ’
1 (0)
а напряжения £0,2 найдены при решении линейной задачи;
- для материала Муни:
<2 = + А(1 - /?)(^о,2 •■/)/- МИ - Р)Кл 3 >
- для материала Черныха:
-~<2-/о/-;? -[о-/?)(/•;?■ ••/)
0-0,2
для материала Л.А.Толоконникова (несжимаемого):
( о о С о (0) Л2 Д
<^‘о,2 = 2/«
Ей,2

Ео,2 у
■ для материала Валаниса-Ландела:
<т(|) = 2СЁт -—СТ’(0) 2 0,2 0,2 2 2 ’
(2.129)
(2.130)
(2.131)
(2.132)
(2.133)
(2.134)
-для неогуковского материала [13]: