Исследование устойчивости стационарных решений дифференциальных уравнений ограниченных ньютоновских задач с неполной симметрией

• Автор: Земцова, Надежда Ивановна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Постановка задачи. Дифференциальные уравнения
несимметричной ограниченной задачи шести тел
1.1. Теорема существования ромбоподобных томографических решений в проблеме пяти тел
1.2. Описание гравитационных моделей соответствующих задач
1.3. Дифференциальные уравнения ограниченной задачи шести

ГЛАВА 2. Определение стационарных решений
2.1. Необходимые и достаточные условия существования стационарных решений ограниченной задачи шести тел
2.2. Графические и численные методы определения стационарных решений
2.3. Теорема о количестве стационарных решений
ГЛАВА 3. Исследование устойчивости по Ляпунову
3.1. Теоремы об устойчивости стационарных решений в первом
приближении
3.2. Определение резонансных кривых в интервалах линейной устойчивости
3.3. Основная формула для гамильтониана
3.4. Теорема о нормализации по Биркгофу квадратичной части гамильтониана
3.5. Теорема о нормализации по Биркгофу кубической и четвертой форм гамильтониана
3.6. Основная теорема об устойчивости по Ляпунову
Г ЛАВА 4. Барицентрическая ограниченная задача пяти тел с
неполной симметрией
4.1. Определение стационарных решений
4.2. Исследование устойчивости стационарных решений
Заключение
Библиография
Приложения

ВВЕДЕНИЕ
Исследование устойчивости стационарных решений гамильтоновых систем космической динамики, к которому относятся рассматриваемые нами задачи, опирается на классическую теорию устойчивости [1,2] и на достижения КАМ-теории [3,4,5].
В качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений в конце XIX столетия оформились два фундаментальных научных направления, связанные с именами А.М.Ляпунова и А.Пуанкаре. Эти направления, прежде всего, касаются развития общей теории устойчивости, методов аналитического и асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений, классификации особых точек дифференциальных уравнений и их решений, топологического описания их различных свойств.
Центральной проблемой качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений можно считать проблему устойчивости решений дифференциальных уравнений различных классов. До появления выдающихся исследований А.М.Ляпунова [1] и А.Пуанкаре [6] отсутствовала строгая математическая теория устойчивости, поэтому в прикладных задачах исследователи часто ограничивались анализом устойчивости первого приближения, и очень редко рассматривалась устойчивость решений в более высоких приближениях. Иллюстрацией к этому служит знаменитая теорема Лапласа [7] об устойчивости в первом приближении орбит больших планет Солнечной Системы. Полвека спустя С.Пуассон [8] доказал, что во втором приближении только большие полуоси планетных орбит устойчивы (т.е. С1к (I) ~ ак (0 ) при t —>+со), а их
эксцентриситеты и наклоны неустойчивы (ек (7) а (1) » teu ). Лаплас
и Пуассон, очевидно, изучали проблему устойчивости только геометрических параметров планетных орбит (на современном математическом языке - медленных фазовых переменных [9]), но не изучали устойчивость угловых фазовых координат (быстрых фазовых переменных), каковыми являются, например, сферические угловые координаты. Иными словами, теоремы Лапласа и Пуассона можно интерпретировать как «теоремы об устойчивости по части переменных», но не «теоремы об устойчивости по Ляпунову», понятие которой было предложено А.М.Ляпуновым спустя полвека после работ Пуассона. Строго говоря, теоремы Лапласа и Пуассона не дали ни положительный, ни отрицательный ответ на вопрос об устойчивости Солнечной Системы, так как в то время проблема сходимости приближений в теории возмущений гамильтоновых систем, без решения которой невозможно перейти от формальной устойчивости к устойчивости решений в смысле Ляпунова, даже не была корректно сформулирована.

А.М.Ляпунов в своей докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения» [1] предложил новое определение устойчивости частного решения дифференциальных уравнений и разработал общие методы исследования устойчивости, известные в математической литературе как Первый и Второй методы Ляпунова.
Идеи Ляпунова оказали существенное влияние практически на все теоретические и крупные технические разработки. Достаточно сказать, что если в начале XX века математики пользовались только восемью понятиями устойчивости (орбитальная устойчивость, устойчивость по Пуассону, устойчивость по Лагранжу и пять понятий устойчивости по Ляпунову), то в конце XX столетия уже известно около ста таких понятий, среди которых наиболее универсальными являются устойчивость при постоянно
действующих возмущениях (Г.Н.Дубошин [10], Н.Т.Четаев [11], И.Г.Малкин [12]), устойчивость по части переменных (В.В.Румянцев [13], Е.А.Барбашин [14], Ф.Хартман [15], А.А.Шестаков [16] и др.) и устойчивость на конечном промежутке времени (Н.Д.Моисеев [17], Н.Н.Боголюбов [18], Е.А.Гребеников [19] и др.).
А.М.Ляпунов считал проблему устойчивости решений гамильтоновых систем математической задачей наивысшей трудности. Хорошо известно его знаменитое утверждение, что проблема устойчивости решений
гамильтоновых уравнений не может быть решена ни на каком конечном шаге приближений. Более того, даже проблема неустойчивости этих
решений не всегда может быть решена за конечное число приближений, т.е. сам Ляпунов подчеркивал, что его теоремы об устойчивости без дополнительных условий, которые в его время не были известны, в гамильтоновых системах неприменимы. Эго касается первого и, вообще говоря, второго метода Ляпунова. Основная трудность при применении первого метода Ляпунова состоит в том, что матрица линейного
приближения автономных гамильтоновых систем в окрестности любого положения равновесия является симплектической [20], то есть собственные значения являются попарно противоположными величинами. С другой стороны, основная трудность, неизбежно возникающая при использовании в космической динамике второго метода Ляпунова, состоит в том, что гамильтонианы задач космической динамики, как правило, не являются определенно положительной или определенно отрицательной функцией в смысле Ляпунова, поэтому они не могут быть использованы в качестве V-функций Ляпунова. Поиск других V- функций Ляпунова весьма затруднителен.
Вклад А.Пуанкаре в качественную теорию также огромен. Он ввел понятие орбитальной устойчивости, сформулировал основные математические задачи гамильтоновой динамики и разработал методы асимптотического интегрирования уравнений, составляющие основу современной теории нелинейных колебаний. Основным объектом

Вычислительный эксперимент, выполненный в ССВ Майетайса, показал, что в открытом интервале
О < е < да, < 2.57 (2-11)
где £- сколь угодно малое положительное число, количество положений равновесия равно 12. Графики на рис. 2.2 - 2.7 демонстрируют это.
При да,> 2.57 число положений равновесия зависит от значения параметра а и может принимать значения 12, 16 или 20. Эти случаи приведены на рис. 2.8-2.11, число положений равновесия указано в скобках.
/ г' А'г-Ц 1—V-, -_ —.V,
( у •л Т 1' V 4/ -у
Рис. 2.8. да, =4, а=0.8 (12).
Рис. 2.9. да, =4, а =1.2 (20).
-2-1012 -2-1012 Рис. 2.10. да, =4, а=1.4 (16) Рис. 2.11. да, =4, а =1.6 (12).