Разностные методы решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации

• Автор: Рунг, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 117 с. : ил.

Глава 1. Исследование корректности задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации
§1. Постановка задачи
§2. Определение обобщенного решения
§ 3. Теорема существования
Глава 2. Исследование сходимости неявной разностной схемы для задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации
§ 1. Построение разностной схемы
§ 2. Исследование сходимости
ГЛАВА 3. Итерационные методы решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации
§ 1. Итерационный метод решения задачи насыщенной фильтрационной.консолидации
§ 2. Численные эксперименты для задачи насыщенной фильтрационной.консолидации
§3. Итерационный метод решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации
Литература
Интенсивное развитие вычислительной техники открывает широкие возможности применения численного моделирования для исследования различных физических, технологических и производственных процессов. При математическом моделировании большинства этих процессов возникают весьма сложные, часто нелинейные, задачи математической физики, решение которых возможно получить лишь с использованием численных методов. К числу таких задач относятся задачи фильтрационной консолидации.
Фильтрационной консолидацией называется процесс взаимодействия пористой среды (скелета) и насыщающей ее жидкости под действием внешних сил. При этом говорят о насыщенной фильтрационной консолидации, если поры среды оказываются полностью занятыми жидкостью, и о ненасыщенной фильтрационной консолидации — в противном случае. Теория фильтрационной консолидации охватывает задачи об осадке сооружений на насыщенных грунтах, задачи деформации пористого скелета под воздействием достаточно мощного фильтрационного потока и др.
Наиболее полно исследованы задачи насыщенной фильтрационной консолидации. Основы теории насыщенной фильтрационной консолидации заложены в работах К. Терцаги, Н.М. Герсеванова, Ю.К. Зарецкого, М. Био, В.Н. Николаевского ([53], [3], [18], [57], [37]) и других авторов. Ими построены математические модели фильтрационной консолидации, проведены исследования этих моделей с позиций механики сплошных сред. Строгий математический анализ задач насыщенной фильтрационной консолидации был проведен в работах A.B. Костерина, М.И. Дроботенко, Р.З
утова, А.Д. Ляшко ([9]—[13]). В этих работах введено понятие обобщенного решения, доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения, изучены его свойства, достаточно подробно исследованы методы численной реализации. Исследованию разностных схем решения некоторых задач насыщенной фильтрационной консолидации посвящены работы П.Н. Вабищевича, F.J. Gaspar, F.J. Lisbona ([59]—[60]).
Следует отметить, что при формулировке модели насыщенной филь-трационой консолидации предполагается, что давление в порах не опускается ниже некоторого порогового значения, обеспечивающего полное насыщение пор скелета. В то же время, экспериментальные исследования показывают, что при достаточно быстром расширении упругой среды (например, при резком снятии нагрузки на пласт) возникают зоны, в которых жидкость не успевает занять весь поровый объем, и его свободная часть заполняется парогазовой смесью, то есть образуются зоны неполного насыщения. Для описания этого процесса A.B. Костерин в работе [26] предложил модель насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации. Эта модель позволяет описывать процессы фильтрационной консолидации как при полном насыщении, так и в случае, когда в части области (или во всей области) поры скелета не полностью заняты жидкостью. Изучению данной модели посвящена настоящая диссертация.
С математической точки зрения модель насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации представляет собой систему уравнений в частных производных относительно перемещений упругой среды и давления жидкости. Причем уравнение относительно давления — вырождающееся, эллиптико-параболического типа, с нелинейностью и в "пространственном" операторе, и в "параболической" части. Такого типа задачи получили название "задачи с двойным вырождением". С 70-х годов прошлого столетия они привлекают внимание многих исследователей. Работы [14],

-У!&т(*) • Ч(д(ютМ)М*')) + Ь{з(рт))рд2д{9{Ют^Пс{г,))ух-
~те $ (*) 5(^т(^))^<3(^)^х' (1.3.36)

Заметим, что J «Д{Ь)д{гЬТ{Ь))Яа{1')йх = 0. Остальные слагаемые в (1.3.36)

оценим, используя ограниченность функций О, д и оценки (1.3.19)—(1.3.21). В результате получим
1Л1 < ' ! = 1 '
Оценим 12. Нетрудно показать, что
1Ы < / (д{ШгШ - 9(йг(())] а 7з.
П ' '
Для оценки /3 воспользуемся также равенством (1.3.3), выбрав г = (д(гит^)) — 5(и)г(<)))|Д(з(<,)|. В результате будем иметь
Ь = ~J | ~ ЧММ*)) Ы<)) ЫМ*)) ~ 9(^т^)))Яс(^')

- УгтД*) • У({д(мт(?)) - д(и)т(г)))Яс{г')) +
+ Ь(,М) Р9г Л|&ШМ2!>} Лх- (1.3.38)
/ “>?(() (9(1»т(«))-г(й,(«)))|Ло((')|<(1.

Все слагаемые правой части равенства (1.3.38) оцениваются аналогично предыдущему случаю, за исключением последнего, для которого справедливо следующее неравенство
J - д(у>т^)))яс{?)<1х