О зарождении и развитии численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

• Автор: Чальцева, Ирина Васильевна
• Шифр специальности: 07.00.10, 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Количество страниц: 194 c. : ил

Глава I Предаю тория
1.1. Первые приемы численного решения задач,сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям
1.2. Результаты Ньютона и Лейбница в области анализа, связанные с решением обыкновенных дифференциальных
уравнений
1.3. Некоторые вопросы исчисления конечных разностей, интерполирования и приближенных квадратур в тру-
. . дах ученых ХУШ е
1.4. Формулы механических квадратур Лапласа и Гаусса
1.5. Формулы Лежандра по вычислению эллиптических интегралов
Глава II.
Начальный период развития численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
2.1. Вопросы приближенного решения дифференциальных
уравнений в работах Эйлера
2.2. Развитие метода Эйлера в работах Коши
2.3. Метод Бонда-Энке
2.4. Метод Адамса
2.5. Метод Дарвина

Глава III
Появление и развитие методов Рунге-Кутта
3.1. Метод Рунге
3.2. Метод Хейна
3.3. Метод Кутта
3.4. Вопросы оценки погрешности и сходимости методов Рунге-Кутта
Глава IV.
Развитие и совершенствование численных методов решения задачи Коши в пореой половине XX столетия.
4.1. Метод Стермера
4.2. Методы Коуэлла
4.3. Работы А.Н.Крылова и примыкающие к ним по численному интегрированию дифференциальных уравНе

,ний.
4.4.Развитие численных методов в работах Ф.Мултона
и Е.Нистрема
4.5. Методы Милна
4.6. Дальнейшее развитие численных методов решения
. . дифференциальных уравнений
4.7. Вопросы оценки,погрешности и сходимости разностных методов
Заключение
Литература
Обыкновенные дифференциальные уравнения являются важным математическим аппаратом, широко применяемым для решения различ -яых научных и технических задач. Особенно эффективными оказа -лись приближенные методы, которые формировались и совершенствовались под непосредственным влиянием практики. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений делятся на аналитичес -кие методы, представляющие решение в виде аналитического выражения, численные методы, позволяющие найти искомое решение лишь в отдельных точках, то есть в виде таблицы, и графические методы. Настоящая работа имеет своей целью исследовать историю развития численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями от их зарождения до машинного периода развития', то есть, до середины XX века. При этом рас -сматриваются методы, основанные на использовании квадратурных формул, содержащих конечные разности, а также методы типа Рунге-Кутта. Метод степенных рядов приводится в той мере, в какой он необходим в связи с использованием его в качестве вспомогательного способа для некоторых численных методов.
Как возникли численные методы, какие главные этапы в своем развитии они прошли, какими стали к середине XX в - вот глав -ные вопросы, поставленные в работе. Более чем двухсотлетняя история развития методов дает богатый фактический материал для исследования общих закономерностей их развития. Модификация методов, отражающая диалектичность развития, не является пос

задачу о получении достаточно точного значения интеграла [ {(х)сіх по возможно меньшему числу значений подынтегральной функции. Приближенное значение интеграла отыскивается в виде
фициенты, которые нужно определить. Ставится задача: в каких точках Х[ интервала интегрирования должны быть вычислены значеле /7 вычисляемых значений подынтегральной функции погреш
работы Гаусса началось в дальнейшем развитие теории квадратурных формул. При этом решались две главные задачи - построение квадратурных формул, дающих наилучшее приближение, и нахождение оценок погрешности при использовании этих формул. При построении формул учитывалась простота вычисления значений подынтегральной функции
Ведущая роль в исследованиях такого рода принадлежит отечественным математикам - Л.П.Чебышеву, С.Н. Бернштейну, В.А. Стекло-ву , Ш.Микеладзе и другим.
Интересные идеи по созданию квадратурных формул, выражающих искомую функцию через конечные разности, были развиты Лежандром. Занимаясь исследованиями эллиптических и эйлеровых интегралов, Лежандр составил таблицы значений интегралов
- значения функции и - численные коэф-

и каковы должны быть . чтобы при заданном чисность приближенного значения N была возможно меньшей. С этой
І.П.5. Формулы Лежандра по вычислению эллиптических интегралов