Полукольца непрерывных [0,1]-значных функций

• Автор: Лубягина, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Киров
• Количество страниц: 105 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Предварительные сведении
1.1 Коммутативные полукольца
1.2 с-полу кольца
1.3 Полукольца С(X, I)
ГЛАВА 2. Идеалы полуколец С(Х, I)
2.1 Чистые идеалы
2.2 Простые идеалы
2.3 Характеризация свойств компактов
2.4 Решетка идеалов
ГЛАВА 3. Конгруэнции и гомоморфизмы полуколец С(Х, I)
3.1 Конгруэнции и решетка конгруэнций
3.2 Гомоморфизмы
ГЛАВА 4. Полукольца СР(Х. I) с топологией поточечной сходимости
4.1 Замкнутые идеалы топологического полукольца СР(Х,Х)
4.2 Замкнутые конгруэнции топологического полукольца СР(Х, I)
4.3 Двойственность
ЛИТЕРАТУРА
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

ВВЕДЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация находится в русле развития и расширения классической теории колец С(Х) = С(Х, R) всех непрерывных функций со значениями в поле Ж вещественных чисел, заданных па произвольном (тихоновском) топологическом пространстве X, с поточечно определенными операциями сложения и умножения функций.
Объектом данной работы является идемпотентное полукольцо С(Х, I) всех непрерывных функций на произвольном топологическом пространстве X со значениями в полукольце I = [0,1] с поточечно определенными операциями сложения V и умножения, с поточечным отношением порядка: для любых фунций /, д € С(X, I) и всех точек х 6 X (/ V д)(х) = таx(f(x),g(x)), (fg)(x) = f(x)g(x), f В диссертации развита теория полуколец С(Х,Т), решены естественные и оригинальные задачи, характерные для функциональной алгебры. Следует отметить, что функции X —> I можно интерпретировать как нечеткие подмножества пространства X, что означает возможность применения полуколец С(Х, I) в теории нечетких множеств и нечетких топологических пространств.
Полукольца непрерывных функций появились в рамках теории колец С(Х) всех непрерывных функций на топологическом пространстве X, которая зародилась в работах М. Стоуна 1937 года [52], И.М. Гельфанда и А.Н. Колмогорова 1939 года [17], Хьюитта 1948 года [44], и окончательно оформилась после опубликования в 1960 году монографии Гиллмана и Джерисона «Кольца непрерывных функций» [И].
Изучались также кольца С(Х,К) всех непрерывных функций со значениями в различных топологических кольцах К, начиная с трудов М. Стоуна [52], Каплаиского [45], Р. Пирса [49].

ВВЕДЕНИЕ
Развитие теории колец непрерывных функций в этом направлении отражено в обзорах Е. М. Вечтомова [8, 9, 5-1, 55] и его книгах [10, 11].
Современное определение полукольца (в широком смысле) было дано Вандивером [53] в 1934 году: полукольцом он назвал совокупность элементов, по сложению и по умножению образующих полугруппы, с правым и левым дистрибутивными законами умножения относительно сложения. Мы же под полукольцом будем понимать непустое множество 51 с бинарными операциями сложения + и умножения , для которых (5, +} — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0, (£, ) — полугруппа с нейтральным элементом 1 и а(Ь + с) — аЪ + ас, (а + Ъ)с = ас + Ьс, 0 а = 0 = а 0 для любых а,Ь,с £ 5 [12]. Таким образом, аксиоматика полукольца в отличае от ассоциативного кольца с единицей не содержит условия существования противоположных элементов и включает аксиому мультипликативности нуля (автоматически выполняющуюся в кольцах).
Интерес к теории полуколец обусловливается не только внутренними потребностями теории, но и ее многочисленными применениями в дискретной математике и компьютерной алгебре, в топологии и теории меры, в теории графов, в теории автоматов и в формальных языках. Отдельно следует упомянуть идемпотентный анализ и его приложения [19] в теории оптимального управления, развиваемые академиком В. П. Масловым и его учениками.
Полукольца непрерывных функций служат важным примером общей теории полуколец. Полукольца С+(Х) = С(Х, К+) всех непрерывных функций со значением в полуполе Ж1 неотрицательных вещественных чисел с обычными сложением и умножением функций для компактов X фигурировали в качестве примера в работе Словиковского и Завадовского 1955 года [51].
Систематическое изучение свойств полуколец непрерывных функций начато в статье В. И. Варанкипой, Е. М. Вечтомова и И. А. Семёновой 1998 года [4]. В этой работе исследованы свойства делимости в полукольцах непрерывных функций, описаны максимальные конгруэнции на полуколь-

Гллвл 2.
2.1. Чистые и апнуляторные идеалы
2)=ф1) Имеем V/, д Е 3, Эе Е J(fe = /, де = д), тогда / V д = е/ V е# = е(/V 1)=/-3) Пусть 3 — полукольцевой идеал и V/ 6 ЗЭе Е 3, что /е = /. Обозначим для идеала 3 С С (А, I) обозначим А3 = П/е7-(/)- Тогда В = АЗ — замкнутое подмножество в А. Для любого / Е 7: Зе/ €
(.Z°(f) = X {х Е X : /(х) ф 0} Э А {х € X : е/(х) = 1}
= X {х Е X : еДх) = 1} Э Z{ej) Э В), то есть Z°(f) 5 В. А значит, В = П/6°(/)и JCOb.
Покажем обратное включение. Пусть g £ Од, то есть В С Z°(g). Для любой функции / € 3 имеем В С Z°(f). Для любой точки х Е А В найдется такая функция f Е 3, что х Z(J). То есть для любой точки Xi Е X Z°(g) найдется такая функция /, 6 J, что ж* € XZ(fi) = Ui, где t/j открыто. Получаем, что {/* — открытое покрытие А Z(g). Как замкнутое подмножество компактного пространства, X Z°(g) компактно. Значит, для X Z°(g) существует конечное подпокрытие U
3)=>1) Для любых функций f,gE Ов, h Е С(Х, I) получаем, что / V д Е Ов и fh Е Од. То есть Од — полукольцевой идеал. Пусть / € Од. По лемме
1.3.3 существует е Е 0(А, I), равная 0 на В и 1 на coz/. Тогда функции

будет соответствовать функция е

€ Од. Значит
чистый идеал. □
Отметим, что условия 1) и 2) предложения 2.1.1 равносильны при любом топологическом пространстве X. В случае тихоновского пространства X получаем следующую интерпретацию пункта 3):
СЛЕДСТВИЕ 2.1.1. Пусть X — тихоновское пространство. Тогда идеал 3 полукольца 0(А, I) будет чистым тогда и только тогда, когда 3 = Ов для некоторого однозначно определенного замкнутого множества В С /ЗА.