О геометрии наилучших диофантовых приближений и относительных минимумов решеток

• Автор: Герман, Олег Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с.

Глава 1. Наилучшие приближения линейных форм
1.1 Наилучшне приближения и односторонние ианлучшие приближения линейных форм
1.2 Асимптотические направления
1.3 Некоторые свойства освещаемости
1.4 Аналог теоремы о сигнатуре для односторонних наилучших
приближений линейных форм
1.5 Вспомогательные утверждения
1.6 Доказательство теорем
Глава 2. Полиэдры Клейна
2.1 Плохо приближаемые числа и полигоны Клейна
2.2 Паруса и норменные минимумы
2.3 Связь с проблемами Литтлвуда и Оппенгейма
2.4 Двойственный конус
2.5 Доказательство теоремы 2
2.6 Доказательство теоремы 2.3 в случае п
2.7 Доказательство теоремы 2.3 для произвольного п
2.8 Паруса и базисы Гильберта
2.9 Доказательства теорем о базисе Гильберта
Список литературы

Диссертация подготовлена па кафедре теории чисел Московского гсудар-ствениого университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к геометрии чисел.
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию двух классических многомерных обобщений понятия наилучших приближений действительного числа рациональными: наилучших приближений линейных форм и полиэдров Клейна.
Постановки задач, связанных с этими объектами, восходят к Г. Минковскому, Г. Ф. Вороному, Ф. Клейну, К. Якоби, и другим классикам. Ими занимались такие известные математики, как А.Я.Хинчин, К. А. Роджерс, В. И. Арнольд, А. Д. Брюно, М. Л. Концевич, Дж. Касселс, Г. Суиннсртон-Даер.
Исследованию многомерных обобщений понятий ценной дроби и наилучшего приближения числа посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также их приложениям уделено внимание в монографиях Дж.Касселса [1], [2], М. Грубера и К. Г. Леккеркеркера [3], П. Эрдеша, М. Грубера и Дж. Хаммера [4], Ж. Лашо [5] и других.
Наилучшие совместные приближения н наилучшие приближения линейных форм тесно связаны, по сути являясь двойственными объектами. Это отражается, например, в различных теоремах переноса (см. [2]). В настоящей диссертации получен ряд новых фактов о наилучших приближениях линейных форм, аналогичных известным утверждениям о наилучших совместных приближениях, полученным К. А. Роджерсом [С], [7], Н. Г. Мощевитнным [8], В. Т.Сош и Г.Секерешем [9].
В диссертации также исследуется одно из классических многомерных обобщений цепных дробей: так называемые полиэдры Клейна. Теория полиэдров Клейна берет начало в работе [10], опубликованной еще в конце 19-го века, однако, первые содержательные многомерные результаты были получены почти столетие спустя В. И. Арнольдом [11], [12], X. Цушихаши [13], Ж. Лашо [14], [5], Е. Коркиной [15], [16], [17], А. Д. Брюно и В. И. Парусниковым [18] и посвящены полиэдрам Клейна, соответствующим алгебраическим решеткам. Отметим также недавнюю работу М. Л. Концевича и 10. М. Сухова [19], в которой получен ряд статистических результатов о полиэдрах Клейна. В настоящей диссертации мы уточняем результат Ж.-О. Муссафира [20], а также доказываем многомерный

аналог теоремы о плохо приближаемых числах, позволяющий переформулировать гипотезу Оппенгейма в терминах свойств полиэдров Клейна.
Научная новизна. Полученные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:
— Доказано существование для любого асимптотически допустимого множества О на сфере такого континуального набора линейных форм, что для любой формы из этого набора множество всех асимптотических направлений для односторонних наилучших приближений этой формы совпадает с П.
— Доказана равносильность положительности норменного минимума п-мерной иррациональной решетки Л и равномерной ограниченности сверху определителей граней каждого из 2п парусов, порожденных решеткой Л.
— Приведен критерий в размерности п — 3,4 того, что точки решетки Л, лежащие в приведенном парусе этой решетки, образуют базис Гильберта полугруппы точек А с неотрицательными координатами.
Методы исследования. В работе используются методы геометрии чисел, теории выпуклых многогранников, теории двойственных многогранников, теории подрешеток простого индекса, а также результаты о распределении простых чисел.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории полиэдров Клейна, теории относительных минимумов решеток, теории наилучших приближений линейных форм, а также при исследовании решеток с положительными норменными минимумами.
Апробация работы. Результаты настоящей диссертации неоднократно докладывались автором на следующих семинарах механикоматематического факультета МГУ:
1. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством Ю. В. Нестеренко, Н. Г. Мощевитина, А. Б. Шидловского,
2. “Арифметика и геометрия” под руководством Н. Г. Мощевитина,
А. М. Райгородского,
3. “Дискретная геометрия и геометрия чисел” под руководством С. С. Рыш-кова,
4. “Дискретная геометрия и геометрия чисел” под руководством Н. П.Дол-билина, Н. Г. Мощевитина,
5. ‘•Тригонометрические суммы и их приложения” под руководством
Н. Г. Мощевитина, А. В. Устинова,

Пользуясь леммой 2.12 и выпуклостью Р, получаем:
Из полученных неравенств следует, что
тої,кГ • volfl_Jt(F П Ь2) = тої кг • /(0) > 7"-* • 22к~3п • тої „П ^ 7" • 2~3" • тої „К

Лемма 2.14. Пусть Нп = Ь ® Ь2, сіішПі = к ^ п— 1, ііішЬг = п — к. Пусть угол между Ь и Ь2 равен а. Пусть Р С Пп — п-мсрнос выпуклое компактное множество. Пусть Г С Ь — к-мернос выпуклое компактное множество, содержащее 0. Пусть
р(0,0Г) >^.р„(Р,Г) бш а
и пусть для любых двух точек аі,а2 Є 0Г, лежащих па одной прямой с точкой 0, выполняется |аі| ^ 7|а2|, где 7 > п. Тогда
’о1 кГ ■ 'оп-к(Р П Ь2) > • уо1„К
Доказательство. Обозначим через Ь'2 ортогональное дополнение к Ьі и будем считать, что {еі,... , е*} — базис в Ь, а {е*+і,... ,е„} — базис в Ь'2 {£ = {еі,... ,е„} — как и прежде, стандартный ортонормированный базис в К"). Возьмем такне ііі и„_^. є Ь, что £ = с^+і + и,- Є Ь2 н обозначим Т = {еі е*, П {п-к}- Рассмотрим линейный оператор А : К" —» К" такой, что А(Р) = £. Оператор А переводит единичный куб в некоторый параллелепипед, центрами (п— 1)-мерных граней которого являются точки Єї, . . . , Є*, Ск+І -щ, . . . ,сп-и„-к- По очевидно, что угол между каждым из векторов е;;+, —и,- и пространством Ь не меньше а. Следовательно, расстояние от любой точки этого параллелепипеда до 0 меньше, чем к+ (п—к)/біп а. Отсюда заключаем, что если |х| = 1,то |Л(х)| < к+(п — к)/ він о < п/ьіпа или, иначе говоря,
А(х)-Л(у)<£-.х-у (2.12)
для всех X, у Є Нп.