История формирования метода тригонометрических сумм в работах И.М. Виноградова по распределению целых точек в областях трехмерного пространства

• Автор: Бурлакова, Екатерина Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.06, 07.00.10
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Орел
• Количество страниц: 182 с.

ГЛАВА 1. О ЖИЗНЕННОМ ПУТИ АКАДЕМИКА И.М.ВИНОГРАДОВА, СОЗДАТЕЛЯ МЕТОДА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ
1.1 ЖИЗНЬ И ОБЩЕСТВЕННАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И.М.ВИНОГРАДОВА
ГЛАВА 2. ОБ ИСТОКАХ ФОРМИРОВАНИЯ' МЕТОДА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ
ГЛАВА 3. ОБ ОСНОВНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ АКАДЕМИКА И.М.ВИНОГРАДОВА
3.1 Распределение целых точек в областях евклидова пространства. Формула обращения для замены тригонометрической суммы на другую с меньшим промежутком суммирования
3.2 Оценка сумм характеров и рациональных тригонометрических сумм с заданным свойством индекса переменной суммирования
3.3 Аддитивные проблемы варинговского типа
3.4 Распределение дробных долей арифметических функций
3.5' Оценки тригонометрических сумм Вейля
3.6 Оценки линейных тригонометрических сумм с простыми числами. Проблема Гольдбаха
3.7 Суммы Г. Вейля с простыми числами и проблема Варинга-ГОЛЬДБАХА
3.8 Суммы характеров Дирихле по сдвинутым простым числам
ГЛАВА 4. ПРОБЛЕМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ
4.1 О начальном периоде исследований по классическим проблемам распределения целых точек в плоских областях
4.2 Проблемы распределения целых точек в областях в работах И.М.ВИНОГРАДОВА

ГЛАВА 5. О ПРОБЛЕМЕ ВАРИНГА В ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Изучение развития аналитической теории чисел следует рассматривать как составную часть, исследований по истории математики XX века. К числу наиболее ярких ее-достижений вообще и теории чисел в частности, следует отнести создание метода тригонометрических сумм И.М.Виноградова.
Настоящая- диссертация посвящена, в основном, истории разработки И.М.Виноградовым той части его метода, которая касается проблем распределения точек целочисленной решетки в трехмерном евклидовом пространстве. При этом впервые рассматривается вопрос о классификации его математических работ по отдельным научным направлениям.
Самостоятельным научным результатом данной диссертации, относящегося к аналитической теории чисел, является теорема о том, что-последовательность, порожденная фиксированной степенью простых чисел, образует базис конечного порядка во- всем множестве натуральных чисел. Данную теорему можно рассматривать, как некоторый шаг в развитии, исследований‘И.М.Виноградова по знаменитой проблеме Варинга-Гольдбаха.
Диссертация,состоит из введения, пяти глав и заключения.
В первой главе диссертации дан краткий очерк жизни и деятельности-И.М.Виноградова. Следует отметить, что изучение биографических материалов о нем в настоящее время является предметом исследований научного коллектива сотрудников мемориального дома-музея И.М.Виноградова в городе Великие Луки. Эта информация носит вводный характер,* и здесь не ставится задача рассмотрения вопросов, имеющих существенное научно-историческое значение.
Сведения, приводимые в ней, опираются в основном1 на. юбилейные статьи и воспоминания Б.Н.Делоне, А.А.Карацубы, П.Я:Кочиной, Ю.В.Линника, К.К.Марджанишвили, Е.П.Ожиговой, А.Е .Постникова* а также на материалы исторического характера, опубликованные в научных журналах. Они дают определенные представления- о формировании личности

Использование этой связи при решении различных математических задач и носит название метода производящих функций.
Считается, что первое эффективное применение этого метода было дано П. Лапласом при решении некоторых проблем теории вероятностей.
Эйлер назвал вопрос о числе решений линейного уравнения задачей о разбиение числа и решил ее следующим образом. Рассмотрел формальный степенной ряд
Правая часть равенства (2.2) представляет собой произведение т одинаковых скобок
Определим, чему равен коэффициент ап в этой записи. Он равен числу способов выбора по одному целому показателю из каждой скобки в правой части равенства (2.2), то есть, ап равен числу положительных целых решений уравнения (2.1).
Для того чтобы найти а„, вспомнив формулу геометрической прогрессии, запишем
Подставляя в это равенство z=0, находим а=т. Дифференцируя еще
F(z) = ^anzn = (1 + z + z2 +... + zn + ...)т.
(2.2)
(1 + Z + ... + zkx + ...)(1 + z +... + zkl +...)...(! + z + ... + zkm +...)
— Üq + (XZ +... + cinz +
где zn = zki zkl ...zkm , то есть n = k + ^2 +... + km.
Дифференцируя это равенство, получаем
= ах + 2a2z +... + nanzn 1+
т(т +1)
раз и вновь подставляя z=0, получаем = . Дифференцируя далее,